Funciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas

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Concepto de función trigonométrica

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

La función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) = sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función seno (ver detalles y propiedades específicas de esta función)

La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

La función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

  • Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
  • Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
  • Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
  • Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Flecha_2  Pulsa aquí para ver detalles y PROPIEDADES específicas de las graficas de las funciones trigonométricas

Flecha_2  Pulsa aquí para conocer DOMINIO y RECORRIDO de las funciones trigonométricas

Funciones circulares recíprocas

Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

  • La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = arc sen x.
  • La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) = arc cos x.
  • La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) = arc tg x.

Ecuaciones trigonómetricas

Las funciones recíprocas  y todo el conjunto de fórmulas trigonométricas se aplicarán en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

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Flecha_2  Pulsa aquí para ver ejemplos resueltos de ecuaciones trigonométricas

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Funciones logarítmicas

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Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales (ej: cálculo de magnitud de terremotos) y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

loga x = b  <=>  ab = x

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

  • La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0, +infinito).
  • Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
  • Es continua.
  • Corta con el eje OX en el punto (1,0), ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
  • Tiene como asíntota vertical el eje OY: hacia abajo si a>1, hacia arriba si a<1.
  • Es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
  • Es convexa si a>1 y cóncava si a<1.
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La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (por consiguiente, son simétricas respecto de la bisectriz)

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento (antilogartimo) o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en las propiedades de los logartimos y en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:

loga f (x) = loga g (x)

Entonces, se emplean los antilogaritmos (o lo que es lo mismo, la función inversa exponencial) para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

loga f (x) = m

de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

  • Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
  • Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
  • Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

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Funciones exponenciales

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En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número real positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

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Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

  • La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:   f (0) = a0 = 1
  • La función exponencial aplicada al valor 1 es siempre igual a la base:   f (1) = a1 = a
  • La función exponencial aplicada a exponente negativo da como resultado el valor inverso:   f (1) = a-n = 1/an

Propiedades gráficas de la función exponencial elemental

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones exponenciales cumplen las propiedades siguientes:

  • Dominio:  RDom(f)=R
  • Imagen:  (0, +infinito)Im(f)=(0,+)0
  • Corte con el eje OY en el punto (0,1)
  • Continuidad: es continua en todo su dominio MR
  • Asíntota horizontal: Eje OX (por la izquierda si a>1, por la derecha si a<1)
  • Monotonía: creciente si a>1 y decreciente si a<1
  • Curvatura: cóncava

La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f(x) = ex. El número irracional e, de valor 2,7182818285…, se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión (1 + 1/n)n cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos .

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

  • Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay.En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
  • Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.   Ejemplo: 22x – 3 × 2x – 4 = 0 t2 – 3t – 4 = 0luego se deshace el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

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Curvas de oferta y demanda

La oferta y la demanda expresan las cantidades que los individuos dentro del sistema económico están dispuestos a adquirir y a demandar y otros interesados en producir o vender, cada grupo en forma independiente, lo cual no es igual que lo que pueden hacer, pues esto realmente se determina por la interacción entre unos y otros. El modelo de oferta y demanda se completa cuando se establece un acuerdo entre compradores y vendedores.

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Por lo tanto, la operación sólo es efectiva cuando demandantes y fabricantes logran un acuerdo y realizan una transacción económica encontrando el precio que mas satisface las expectativas.

El precio al cual están dispuestos a transaccionar una determinada cantidad de producto, tanto el productor como el comprador se le conoce como precio de mercado o precio de equilibrio.

En una economía de libre empresa, los precios de los productos son determinados en las intersecciones de las curvas de la demanda y de la oferta del mercado del producto.

Cuando el precio es igual al de equilibrio y la cantidad comprada y vendida es igual a la cantidad de equilibrio se dice que existe un equilibrio del mercado. Los desplazamientos de las curvas de la oferta y la demanda están íntimamente relacionados con el movimiento de los precios y con la orientación de las actividades de producción.

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La curvas de oferta (qs) y demanda (qdse establecen mediante funciones lineales o cuadráticas con variable precio (p) que dan lugar a tres tipos de modelo de mercado:

  • Modelo lineal (ambas funciones son lineales)
  • Modelo cuadrático (ambas funciones son cuadráticas)
  • Modelo mixto (una función es lineal y la otra cuadrática)

Función cuadrática

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Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos “todos” los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Para repasar los fundamentos de la función cuadrática te proponemos estos enlaces:

Las parábolas pueden tener traslaciones y dilataciones según modifiquemos la expresión analítica de la función.

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Función lineal e interpolación lineal

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En primer lugar te proponemos un enlace para repasar estos contenidos básicos:

  1. La función lineal (de proporcionalidad directa): recta que pasa por el origen.
  2. La función afín: cualquier recta oblicua.
  3. La función constante: recta horizontal.

Con estos conocimientos previos puedes abordar la INTERPOLACIÓN LINEAL.

Interpolacion_lineal_3La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal.

Sean dos puntos (x1, y1) y  (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y2, para un valor x2 tal que x1<x2<x3.

Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:

Interpolacion_lineal_1Despejando y2 obtenemos que:

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Función inversa

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Dada una función inyectiva f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

Podemos observar que:

  • El dominio de f−1 es el recorrido de f.
  • El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Propiedad: si dos funciones son inversas su composición es la función identidad i(x).

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = i(x)

Para hallar la función inversa seguiremos un método en cuatro pasos:

(Previamente se debe comprobar si f(x) es una función inyectiva o es una función no inyectiva. Si f(x) es inyectiva tendrá función inversa, pero si no es inyectiva puede tener función inversa – con alguna restriccción – o no tenerla).

  1. Escribir la función en notación simple con las variables x e y.
  2. Despejar la variable independiente x.
  3. Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
  4. Se vuelve a la notación normal de función con el formato f-1(x).

funcion_inversa_2La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, 1/f(x).

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante, que es la función identidad y = x .

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Funciones por tramos

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Las funciones ayudan a describir fenómenos. Las distintas ciencias buscan describir matemáticamente los fenómenos que estudian para poder comprenderlos, controlarlos, reproducirlos, modificarlos. Hay un tipo de funciones que modelizan muy bien muchas de estas situaciones. Son las funciones por tramos o definidas a trozos.

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una “fórmula”. Cada una de las fórmulas se acompaña de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto:

funcion_por_tramos, donde los dominios suelen aparecer como intervalos, inecuaciones o puntos.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas. La trayectoria puede ser continua o contener discontinuidades.

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Composición de funciones

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Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

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Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

La composición de funciones tiene sus correspondientes propiedades. Son múltiples los ejemplos que podemos proponer. o los ejemplos resueltos.

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Gráficas de funciones on-line con “Fooplot”

Fooplot

Crear gráficas online en la web Fooplot para posteriormente, bajarla al disco duro. De esta manera, la podremos insertar en un documento, blog, web,… e imprimir.

Esos tiempos de estar realizando gráficas de funciones  manualmente han llegado a su fin. FooPlot es una herramienta on-line para poder representar la gráfica de  las funciones que nos interese. Su funcionamiento es bastante simple: solo debes componer la función (usando los símbolos habituales para las operaciones básicas, y recurriendo si es preciso a un extenso número de funciones predefinidas, tales como sin, sqrt, ln, …) y añadirla en la barra de dirección del navegador.
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Otra forma de introducir la información es directamente en un campo de texto que ofrece FooPlot. Entre las acciones que te deja realizar encontramos:
  • Se puede ajustar manualmente el rango de representación.
  • Ampliar una parte de la figura que nos interese.
  • Superponer hasta cinco funciones en diferentes colores.
  • Representar funciones de dos variables.
La web de est Graficador es:  http://fooplot.com/
Otras web para “graficar” funciones:

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