Función inversa

función_inversa

Dada una función inyectiva f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

Podemos observar que:

  • El dominio de f−1 es el recorrido de f.
  • El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Propiedad: si dos funciones son inversas su composición es la función identidad i(x).

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = i(x)

Para hallar la función inversa seguiremos un método en cuatro pasos:

(Previamente se debe comprobar si f(x) es una función inyectiva o es una función no inyectiva. Si f(x) es inyectiva tendrá función inversa, pero si no es inyectiva puede tener función inversa – con alguna restriccción – o no tenerla).

  1. Escribir la función en notación simple con las variables x e y.
  2. Despejar la variable independiente x.
  3. Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
  4. Se vuelve a la notación normal de función con el formato f-1(x).

funcion_inversa_2La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, 1/f(x).

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante, que es la función identidad y = x .

funcion_inversa

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Composición de funciones

composicion_funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

comp_def

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

La composición de funciones tiene sus correspondientes propiedades. Son múltiples los ejemplos que podemos proponer. o los ejemplos resueltos.

+ INFO (COMPOSICIÓN de FUNCIONES)

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Funciones por tramos

Funciones-lineales-a-trozos

Las funciones ayudan a describir fenómenos. Las distintas ciencias buscan describir matemáticamente los fenómenos que estudian para poder comprenderlos, controlarlos, reproducirlos, modificarlos. Hay un tipo de funciones que modelizan muy bien muchas de estas situaciones. Son las funciones por tramos o definidas a trozos.

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una “fórmula”. Cada una de las fórmulas se acompaña de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto:

funcion_por_tramos, donde los dominios suelen aparecer como intervalos, inecuaciones o puntos.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas. La trayectoria puede ser continua o contener discontinuidades.

+ INFO (FUNCIONES por TRAMOS)

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Dominio y recorrido de una función

range-domain

Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia unívoca, es decir que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

Atendiendo a las variables x e y, nos centraremos en este tipo de funciones: función real de variable real.

Es muy importante que repases la clasificación de funciones.

Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Imagen o Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función “y” variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a “x”. Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

+ INFO (DOMINIO y RECORRIDO DE FUNCIONES)

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Representación gráfica de funciones elementales con Wiris

Grafica_Wiris

La calculadora Wiris, permite dibujar gráficas de funcionas mediante unas intsrucciones muy sencillas.

  • Activar la calculadora Engega la Wiris y escribir:

    Clicar sobre el icono de la flecha y se abrirá un tablero gráfico con la gráfica de la función.
Pasamos a ver más posibilidades del comando dibujar.

  • Modificar lo que teníamos para que diga

    y ya tenemos el gráfico reproducido más arriba.
  • También es posible ordenar dos dibujos a la vez. La sintaxis es ésta:  
  • Cuando se indica que se dibujen varios objetos con el mismo comando (en el caso anterior, dos gráficas de funciones) los atributos de dibujo seran comunes. Si queremos que sean distintos… ¡hay que distinguir!

La estructura general del comando dibujar es la siguiente:

    • La primera lista que se pasa como argumento debe incluir los objetos que queremos dibujar. En caso que sea un objeto único se pueden omitir las { }
    • La segunda lista que se pasa es optativa y detallas las opciones de dibujo para los objetos que aparecen en el comando. Si se quiere dibujar con los atributos por defecto (color negro, por ejemplo) no hay que poner nada; si se indica algún atributo, aunque sea solo uno, hay que indicarlo entre { }

Ahora bien, la Wiris tiene otro comando que permite un estudio analítico muy detallado de las funciones. Se trata de representar.

El comando dibujar realiza una representación de la función punto a punto, sin ningún estudio previo. En cambio el comando representar nos presenta lo que los autores llaman«una representación astuta» (también podríamos decir «una representación como la que se pide a los alumnos en la selectividad»), a saber, una representación que visualice todos los elementos que se recomiendan como esenciales para hacer un esbozo de la gráfica: elección de graduaciones adecuadas para los ejes, puntos singulares (máxims relativos, mínimos relativos y puntos singulares que también son puntos de inflexión), cortes con los ejes, asíntotas, etc.

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Gráficas de funciones on-line con “Fooplot”

Fooplot

Crear gráficas online en la web Fooplot para posteriormente, bajarla al disco duro. De esta manera, la podremos insertar en un documento, blog, web,… e imprimir.

Esos tiempos de estar realizando gráficas de funciones  manualmente han llegado a su fin. FooPlot es una herramienta on-line para poder representar la gráfica de  las funciones que nos interese. Su funcionamiento es bastante simple: solo debes componer la función (usando los símbolos habituales para las operaciones básicas, y recurriendo si es preciso a un extenso número de funciones predefinidas, tales como sin, sqrt, ln, …) y añadirla en la barra de dirección del navegador.
barra
Otra forma de introducir la información es directamente en un campo de texto que ofrece FooPlot. Entre las acciones que te deja realizar encontramos:
  • Se puede ajustar manualmente el rango de representación.
  • Ampliar una parte de la figura que nos interese.
  • Superponer hasta cinco funciones en diferentes colores.
  • Representar funciones de dos variables.
La web de est Graficador es:  http://fooplot.com/
Otras web para “graficar” funciones:

Graficador de funciones

Supongamos que deseamos graficar la siguiente función (polinomio):

Los pasos a seguir, son:
1. Usar el widget Wolfram Alpha que ves abajo.
2. Ingresamos en la caja de texto la función, usando la sintáxis informatica  (por ejemplo x^3-6x^2+4x+12 ), y le damos enter.
3. Wolfram Alpha retornará una ventana de respuesta.
4. Podemos especificar el dominio de la función, añadiendo la clausula:  from “valor” to “valor”,  entonces lo que  debemos escribir en la caja de texto queda como:  x^3-6x^2+4x+12  from 0 to 5

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