Inecuaciones polinómicas de grado superior a dos

Son inecuaciones que se pueden escribir de la forma:  an xn  + an-1 xn-1 + …….. + a1 x + a0 > 0

Para su resolución, se procede de forma similar al caso de las inecuaciones polinómicas de segundo grado, es decir, se factoriza el polinomio y se estudia su signo.

inecuacion_polinomicaPara resolver una inecuación polinómica , seguiremos los siguientes pasos:

  1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.
  2. Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.
  3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
  4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar algebraica (como intervalo) y gráficamente.

Ejemplo:

inecuacion_Ngrado

Factorizamos la inecuación:

(x -1)(x – 2)(x – 1/2)(x + 2/3) < 0

En la que inter las raíces:

x = 1   ,    x = 2  ,   x = 1/2  ,   x =- 2/3

Estudiamos el signo en los intervalos:

(-∞ , – 2/3)
(-2/3 , 1/2)
(1/2 , 1)
(1 , 2)
(2 , ∞)
(x -1)(x – 2)(x – 1/2)(x + 2/3)
+ + +

El conjunto solución es:    (-2/3 ,1/2) ∪ (1 , 2)

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Sistemas de ecuaciones no lineales

Sistema_no_linealUn sistema de ecuaciones es no lineal si, por lo menos, una de sus ecuaciones no es lineal (hay un grado mayor o menor que uno en las variables). Estos sistemas se resolverán habitualmente por sustitución o igualación. Es recomendable dibujar las ecuaciones del sistema en la medida de lo posible para hacerse una idea aproximada de la interpretación geométrica de las soluciones, si las hay.

Es importante comprobar que la resolución analítica concuerda con la representación gráfica de las soluciones, ya sea manualmente, ayudándose con calculadora, o mediante ordenador. Esto permitirá a la vez comprender los resultados, lo cual es siempre más efectivo que resolver el sistema sin ninguna idea aproximada de su significado.

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Método de Gauss

Metodo_Gauss

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales, es una generalización del método de reducción. Consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente en forma escalonada y de fácil resolución.

Este método conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:

Ax + By + Cz = D
Ey + Fz = G
Hz = I

La resolución del sistema es ahora inmediata; basta calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnita x en la primera ecuación, conocidos ya z e y.

Al resolver un sistema puede suprimirse, sin que varíe su resolución, cualquier ecuación que pueda obtenerse a partir de otras.

  • Te aconsejamos primero consultar un resumen con teoría y ejemplos aquí.
  • Puedes ver un ejemplo resuelto con la aplicación del álgebra de matrices aquí.
  • El método de Gauss distingue entre sistemas compatibles determinados (SCD), sistemas incompatibles SI y sistemas compatibles indeterminados (SCI). Pulsa para ver ejemplos aquí.

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La anécdota del Príncipe de las Matemáticas

Libro_GaussDe la infancia de Carl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, se cuenta que aprendió a leer él solo (autodidacta) y que a los tres años le corrigió un error aritmético a su padre. Gauss fue escolarizado de forma temprana en la ciudad de Braunschweig, cerca de Hannover.

En 1784, tras su séptimo cumpleaños, el pequeño entró en una escuela pública de educación primaria donde las clases las impartía un profesor llamado J. B. Büttner. La escuela estaba ubicada en una habitación sombría, de techo bajo, suelo desigual, … donde cerca de un centenar de pupilos de Büttner iban y venían. El profesor imponía una disciplina rígida y nadie podía llevarle la contraria. En esta escuela, que seguía el patrón de la Edad Media, Gauss llevaba dos años como alumno sin provocar ningún incidente reseñable.

El primer día que Gauss asistió a la clase de Aritmética, en la que había niños de hasta 15 años, ocurrió un incidente que Gauss solía contar ya anciano para el deleite de sus contertulios. Cuando el profesor proponía un problema, el alumno que acababa el primero tenía que llevar su pizarrita hasta la mesa del profesor. El segundo que lo lograra colocaba la suya encima, y así sucesivamente. El primer día que el joven Gauss entró en clase, el profesor Büttner, a viva voz, estaba dictando un problema de aritmética para sus alumnos. Justo al acabar de dictar el problema, Gauss colocó su pizarrita sobre la mesa del profesor, quien con absoluta seguridad afirmó: “Debe estar mal.” Mientras, el resto de los alumnos continuaron con su tarea (contando, multiplicando, y sumando). Büttner recorría la clase observando a sus alumnos con una mirada irónica, casi compasiva, hacia sus alumnos. Sólo un niño estaba sentado, callado, con su tarea ya finalizada, consciente de que la había resuelto correctamente y que su resultado era el único posible.

escuela_Gauss

Al final de la clase, el profesor dio por acabado el examen y volvió las pizarras hacia arriba. La primera, la del joven Gauss, sólo contenía un número. Cuando Büttner lo leyó, para su sorpresa y la de todos los presentes, resultó que la respuesta del joven Gauss era correcta. Muchos de sus compañeros, sin embargo, habían obtenido una respuesta errónea.

Según se relata en algunas biografías de Gauss, parece ser que el viejo profesor Büttner castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato.

Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5050. Una historia mil veces contada. Todos los profesores de primaria y secundaria se la cuentan a sus alumnos. ¿Ocurrió de verdad? ¿Hay alguna evidencia histórica? Sigue la historia contando que Gauss, el niño prodigio, se dio cuenta de que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., todos suman 101, y que hay 50 de estos pares, resultando 50 × 101 = 5050.

suma_gauss

Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero (1) y el último término (100):

Suma_progresiondónde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión y parece ser esta fórmula se conoce, como mínimo, desde el s. VIII. Leer más de esta entrada

Ecuaciones racionales, puesta a punto

ecuacion_racional

¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como incógnita) para llegar a la solución o soluciones. Hay varias formas de resolver una ecuación racional, dependiendo del tipo de ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación. Y luego de transformados los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden cancelar.

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 (“igualar a cero”). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usar la Propiedad fundamental de las proporciones (“El producto de los medios es igual al producto de los extremos”, o “Igualar los productos cruzados”). Pero si no es una proporción, también se puede buscar denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la propiedad.

¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de una fracción está dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que haga que un denominador dé cero.

¿Qué es el Conjunto Solución?

Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos, ninguna, etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamado Conjunto solución. Por tanto, después de resolver este tipo de ecuaciones, siempre hay que comprobar las posibles soluciones en la ecuación original.

Si quieres saber más y ver ejemplos resueltos pulsa aquí.

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Ecuaciones irracionales, algo muy radical

ecuacion_irracional

Una ecuación con radicales, o ecuación irracional, son aquellas en las que aparece la variable bajo el signo de la raíz.

Su proceso de resolución consta de varios pasos que es imprescindible tener muy en cuenta, además requieren comprobación porque pueden aparecer soluciones no válidas.

Resolución de ecuaciones con radicales:

  1. Se aísla un radical en un miembro de la igualdad y se pasan los restantes términos al otro miembro.
  2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
  3. Si existe todavía algún radical, se repite el proceso anterior.
  4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales dada.

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Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos

ec_polinomica

Son ecuaciones formadas por un polinomio de cualquier grado “n”.

Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + …+ a0 = 0

Se denomina ecuación cúbica si n = 3 , y ecuación cuártica si n = 4.

Las ecuaciones que tienen una o varias raices enteras se resuelven en estas tres etapas:

  1. factorizando el polinomio (algoritmo de Ruffini)
  2. igualando a cero los factores de 1º y 2º grado resultantes
  3. resolviendo las correspondientes ecuaciones lineales y cuadráticas resultantes

Para ver los detalles básicos del proceso de resolución por factorización pulsa aquí.

Al tratar de factorizar puede ocurrir que nos encontremos que la ecuación no tiene raices enteras. Este caso es más dificil de resolver. Para ello, y a nivel de nuestro curso de 1º BAC, tenemos varias posibilidades para salir del paso:

  • Uso de la calculadora científica, un programa de ordenador (por ejemplo Derive 6) o algunas aplicaciones on-line como este widget  de Wolfram/Alpha o bien la excelente plataforma de cálculo QuickMath.
  • Uso de tablas de valores para acotar las soluciones de manera aproximada.
  • Un método gráfico buscando los cortes con el eje OX de la función polinómica asociada.

Como hemos dicho, los casos de ecuaciones con raices no enteras (racionales o irracionales) son de mucha mayor dificultad de resolución. También, pueden aparecer raices complejas. Pero, esas situaciones se salen del ámbito de 1º BAC. Existen macrofórmulas para resolver ecuaciones cúbicas o ecuaciones cuárticas, así como otros métodos generales de cálculo muy complicados. Sólo si quieres investigar sobre estos métodos y ver su elevado grado de dificultad pulsa aquí=> Método de Cardano  o aquí => Métodos Numéricos.

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