Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda  determinada cuando  conocemos:

• Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
• El centro y el radio.
• El centro y un punto en ella.
• El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, según la Geometría Analítica, para cualquier punto, P (x, y),  de una circunferencia cuyo centro  es el punto C (a, b) y con radio r, la ecuación ordinaria de la misma será:

(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²

¿Qué significa esto?

En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Deducción de la ecuación ordinaria de la circunferencia

Distancia (C,P) = r

Fórmula que elevada al cuadrado nos da:

(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²

En esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido:

• Si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.
• Si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria (cuyo primer miembro está formado por la suma de dos cuadrados de binomio) eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x² ─ 2ax + a² + y² ─ 2by + b² ─  r² = 0   ecuación que ordenada sería

x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = A, 

─ 2b = B, 

a² + b² ─ r² = C

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x² + y² + Ax + By + C = 0  (conocida como Ecuación General de la Circunferencia)

Si quieres comprobar graficamente la influencia de los términos A, B, C te recomendamos un juego en esta página web dinámica sobre la circunferencia.

+ INFO (RESUMEN sobre la ECUACIÓN de la CIRCUNFERENCIA)

Ecuaciones de la circunferencia y posiciones relativas con una recta en el plano

+ INFO (EJERCICIOS sobre la ECUACIÓN de la CIRCUNFERENCIA)

Ejercicios sobre las ecuaciones de la circunferencia