Ecuaciones racionales, puesta a punto

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¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como incógnita) para llegar a la solución o soluciones. Hay varias formas de resolver una ecuación racional, dependiendo del tipo de ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación. Y luego de transformados los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden cancelar.

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 (“igualar a cero”). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usar la Propiedad fundamental de las proporciones (“El producto de los medios es igual al producto de los extremos”, o “Igualar los productos cruzados”). Pero si no es una proporción, también se puede buscar denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la propiedad.

¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de una fracción está dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que haga que un denominador dé cero.

¿Qué es el Conjunto Solución?

Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos, ninguna, etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamado Conjunto solución. Por tanto, después de resolver este tipo de ecuaciones, siempre hay que comprobar las posibles soluciones en la ecuación original.

Si quieres saber más y ver ejemplos resueltos pulsa aquí.

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Ecuaciones irracionales, algo muy radical

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Una ecuación con radicales, o ecuación irracional, son aquellas en las que aparece la variable bajo el signo de la raíz.

Su proceso de resolución consta de varios pasos que es imprescindible tener muy en cuenta, además requieren comprobación porque pueden aparecer soluciones no válidas.

Resolución de ecuaciones con radicales:

  1. Se aísla un radical en un miembro de la igualdad y se pasan los restantes términos al otro miembro.
  2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
  3. Si existe todavía algún radical, se repite el proceso anterior.
  4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales dada.

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Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos

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Son ecuaciones formadas por un polinomio de cualquier grado “n”.

Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + …+ a0 = 0

Se denomina ecuación cúbica si n = 3 , y ecuación cuártica si n = 4.

Las ecuaciones que tienen una o varias raices enteras se resuelven en estas tres etapas:

  1. factorizando el polinomio (algoritmo de Ruffini)
  2. igualando a cero los factores de 1º y 2º grado resultantes
  3. resolviendo las correspondientes ecuaciones lineales y cuadráticas resultantes

Para ver los detalles básicos del proceso de resolución por factorización pulsa aquí.

Al tratar de factorizar puede ocurrir que nos encontremos que la ecuación no tiene raices enteras. Este caso es más dificil de resolver. Para ello, y a nivel de nuestro curso de 1º BAC, tenemos varias posibilidades para salir del paso:

  • Uso de la calculadora científica, un programa de ordenador (por ejemplo Derive 6) o algunas aplicaciones on-line como este widget  de Wolfram/Alpha o bien la excelente plataforma de cálculo QuickMath.
  • Uso de tablas de valores para acotar las soluciones de manera aproximada.
  • Un método gráfico buscando los cortes con el eje OX de la función polinómica asociada.

Como hemos dicho, los casos de ecuaciones con raices no enteras (racionales o irracionales) son de mucha mayor dificultad de resolución. También, pueden aparecer raices complejas. Pero, esas situaciones se salen del ámbito de 1º BAC. Existen macrofórmulas para resolver ecuaciones cúbicas o ecuaciones cuárticas, así como otros métodos generales de cálculo muy complicados. Sólo si quieres investigar sobre estos métodos y ver su elevado grado de dificultad pulsa aquí=> Método de Cardano  o aquí => Métodos Numéricos.

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Ecuación cuadrática y parábola asociada

Parabolas_cortes

Las raíces de una ecuación cuadrática: Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x. Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x , mientras que la coordenada  y = 0. Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de la parábola y la localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos raíces. Esto último está relacionado con el signo del discriminante de la ecuación de 2º grado.

Ecuación_cuadrática

Para recordar las propiedades y forma de representar una parábola pulsa aquí.

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+ INFO (Applets sobre parábolas)

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  • En este applet 1 podrás representar una parábola, una vez que conocidos los coeficientes de la misma. Una vez representada, el applet nos da los puntos de corte con el eje OX, que son las soluciones de la ecuación de 2º grado asociada.
  • Este otro applet 2 pretende detallar gráficamente como se representa un parábola. Si sigues los pasos te aclararás bastante con este tipo de representaciones.

Pincha en las imágenes, y no te olvides de seguir las instrucciones.

  • Estas otros dos webs (en español e inglés) te informan sobre todo lo que has de saber sobre la función cuadrática.

Ecuaciones con valor absoluto

valor_absoluto

El valor absoluto de un número real es un operador matemático que prescinde del signo. Por tanto, el conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|x| = a       ⇔       x = a    o    x = – a

siendo x , a ∈ R  y  a > 0

Ejemplos de resolución de ecuaciones con valor absoluto:

Ejemplo 2)     |2x – 5| = 4

De acuerdo con definición, tenemos dos posibilidades:

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = 4   ⇔   2x = 9   ⇔   x = 9/2

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = – 4   ⇔   2x = 1   ⇔   x = 1/2

Por tanto, el conjunto solución es:  S={1/2, 9/2}

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