Programación lineal

20 diciembre, 2018

region_factible_2 La programación lineal (PL) es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales optimizando una función objetivo, también lineal.

El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):

Método gráfico, basado en las rectas de nivel
Método gráfico-analítico, básado en el cálculo de vértices
Método SIMPLEX (es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso).

Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo.

ETAPAS DEL MÉTODO DE LOS VÉRTICES APLICADO A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Los pasos a seguir son:

1 Elegir las incógnitas.

2 Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3 Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4 Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6 Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

Función Objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables: f(x,y) = ax + by

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a₁x + b₁y ≤ c₁

a₂x + b₂y ≤ c₂

a_nx + b_ny ≤ c_n

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Región factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado, llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR

Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:

Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)

A su vez los casos factibles pueden ser de:

Solución única
Solución múltiple
Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)

+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)

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PHP Simplex = calculadora de programación lineal

24 enero, 2014

Te presentamos una CALCULADORA on-line para resolver problemas de programación lineal con cualquier número de variables.

Nota.- Para nivel de Bachillerato te recomendamos elegir 2 variables y el «Método Gráfico» y descartar el «Método Simplex/Dos Fases»

PHPSimplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso es libre y gratuito. Para acceder a ella basta con pulsar sobre el icono que aparece a la izquierda, o sobre «PHPSimplex» en el menú superior.

PHPSimplex es capaz de resolver problemas mediante el método Simplex, el método de las Dos Fases, y el método Gráfico, y no cuenta con limitaciones en el número de variables de decisión ni en las restricciones de los problemas.

Esta herramienta está pensada para ayudar a los estudiantes en su aprendizaje ya que no solo muestra los resultados finales sino también las operaciones intermedias. También ofrece la solución directa para uso de profesionales.

Está disponible también un manual de ayuda de PHPSimplex para aprender rápidamente a utilizar la herramienta.

Además en esta página encontrará teoría de los métodos utilizados, casos especiales a tener en cuenta, ejemplos de problemas resueltos paso a paso, una comparación entre el método Simplex y el método Gráfico, historia de la Investigación Operativa, etc.

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