Programación lineal

region_factible_2La programación lineal (PL) es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales optimizando una función objetivo, también lineal.

El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):

Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo.

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ETAPAS DEL MÉTODO DE LOS VÉRTICES APLICADO A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Los pasos a seguir son:

1  Elegir las incógnitas.

2  Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3  Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4  Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6  Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

Función Objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables: f(x,y) = ax + by

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

anx + bny ≤ cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Región factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado,  llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima  se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
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CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
 
Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:

  • Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
  • No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)

A su vez los casos factibles pueden ser de:

  • Solución única
  • Solución múltiple
  • Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)
web+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)

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Inecuaciones con valor absoluto

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Todas las inecuaciones con valor absoluto se resuelven con la propiedad de acotación :

Si │a│< k  =>  -k < a < k  (casos 1 y 2 en los videos)

Si │a│> k  =>  -k > a > k  (casos 3 y 4 en los videos)

pdf_boton_p+ INFO (DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO)

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A continuación, para profundizar, te proponemos 4 videos muy aclaratorios.

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Ecuaciones con valor absoluto

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El valor absoluto de un número real es un operador matemático que prescinde del signo. Por tanto, el conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|x| = a       ⇔       x = a    o    x = – a

siendo x , a ∈ R  y  a > 0

Ejemplos de resolución de ecuaciones con valor absoluto:

Ejemplo 2)     |2x – 5| = 4

De acuerdo con definición, tenemos dos posibilidades:

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = 4   ⇔   2x = 9   ⇔   x = 9/2

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = – 4   ⇔   2x = 1   ⇔   x = 1/2

Por tanto, el conjunto solución es:  S={1/2, 9/2}

pdf_boton_p+ INFO (ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO)

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Matemáticas 1º BAC CCSS para el verano

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Repasa Matemáticas en Verano

¡Qué bien se está de vacaciones! Es muy bueno desconectar un poco, pero no del todo. Suena a tópico, pero en vacaciones debemos darle un poco de actividad a la mente, mucho más allá de ver la tele, pegarse al móvil o darle a la “play”. Hay tiempo para todo.

CONSEJO NÚMERO 1
¡A leer! Clásicos, best-sellers, … o, por qué no, lectura científica.
La editorial Nivola tiene muy buenos títulos de libros relacionados con Matemáticas. Aquí puedes ver su catálogo.

CONSEJO NÚMERO 2
Si has aprobado todo, por supuesto que mereces un descanso y diversión. Pero también diversión intelectual.
En verano tienes la oportunidad ideal para practicar problemas del Concurso de Primavera de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (con las ediciones anteriores). ¡Empieza ya tu entrenamiento! Tienes todos los problemas en este enlace.

CONSEJO NÚMERO 3
Si has aprobado “por los pelos”, o te notas flojill@ en algún tema de los que estudiaste el curso pasado, no dejes de repasar y hacer ejercicios.

Si estás en la playa, en la montaña o en la piscina no te viene mal descargarte estos resúmenes de Matemáticas para el verano. Si has aprobado el curso te harán fijar ideas y conceptos, si has suspendido te servirán como elementos de preparación del examen de Septiembre.

Empezamos por estos:

pdf_boton_p+ INFO (RESÚMENES DE MATEMÁTICAS PARA EL VERANO Matemáticas 1º BAC CCSS)

Aplicaciones de la derivada

aplic_derivadaUtilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.

Se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Te recomendamos este resumen teórico muy claro y bien estructurado para ayudarte a conseguirlo.

OBJETIVOS

  • Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
  • Calcular los extremos relativos de una función.
  • Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.
  • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función.

Si deseas profundizar en más ejercicios de cierto nivel a cerca de las aplicaciones de la derivada te proponemos dirigirte aquí.

Por otra parte, no debemos dejar a un lado los problemas de optimización de funciones que tantos dolores de cabeza pueden darnos en clase.

Estos problemas, basicamente aplicados en el área de la Física, de los materiales, de la Biología, de la economia, etc. Los casos más frecuentes son aplicaciones geométricas: por ejemplo, tratar de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo. Puedes econtrar algunos ejemplos aquí.

Si te gustan los audiovisuales puedes encontrar unos buenos videos sobre aplicaciones de la derivada aquí.

No lo olvides, los métodos matemáticos resultan efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Administración, Ingeniería, Economía, Finanzas y Ecología entre otras.

pdf_boton_p+ INFO (RECURSOS de DERIVADAS y APLICACIONES)

pdf_boton_p+ INFO (EJERCICIOS de DERIVADAS y APLICACIONES)

El reto de la Derivada

NI MÁS NI MENOS QUE… EL LÍMITE DE UN COCIENTE INCREMENTAL

Deriving

¿Quieres dominar una de las operaciones clave de las Matemáticas?, pues ¡¡¡ ADELANTE !!!

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  • Cómo calcular la derivada en un punto (ejercicios de aplicación de la definición) aquí
  • Presentación (PDF) sobre la derivada aquí
  • Interpretaciones geométrica y física de la derivada aquí
  • Reglas de derivación (PDF) con derivadas inmediatas aquí
  • Iniciación (PDF) al cálculo de derivadas sencillas aquí
  • Derivadas propuestas (HTML) (nivel medio) aquí
  • Batería de derivadas (PDF) con sus soluciones aquí
  • Ejemplos de derivadas (PDF) de funciones clasificadas por grupos aquí
  • Colección ejercicios resueltos (PDF) de derivadas y algunas aplicaciones aquí
  • Ejercicios resueltos (PDF) de derivabilidad (nivel medio-alto) aquí
  • Ejercicios resueltos (PDF) de aplicación de la derivada aquí
  • Web especializada en derivadas aquí
  • Videos explicativos (YOUTUBE) sobre la derivada aquí
  • Una derivada curiosa aquí

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Asíntota, una palabra griega

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Torre del puerto de Kobe (Japón)

Asíntota es un término con origen en un vocablo griego hace referencia a algo que no tiene coincidencia. El concepto se utiliza en el ámbito de la geometríapara nombrar a una recta  que, si se prolonga de maner indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o función, aunque sin alcanzar a tocarla.

Esto quiere decir que, mientras la recta y la curva van extendiéndose, la distancia entre ambas tenderá hacia el cero. De acuerdo a sus características, las asíntotas pueden clasificarse en verticales, horizontales u oblicuas.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo.

En este video puedes repasar como se hallan las asíntotas de una función racional con una profesora virtual:

  • Resumen teórico de ASINTOTAS aquí
  • Enunciados de ejercicios de ASÍNTOTAS aquí
  • Soluciones de los ejercicios de ASÍNTOTAS aquí
  • Otro video sobre ASÍNTOTAS aquí

pdf_boton_p+ INFO (EJERCICIOS de ASÍNTOTAS)