Curvas de oferta y demanda

La oferta y la demanda expresan las cantidades que los individuos dentro del sistema económico están dispuestos a adquirir y a demandar y otros interesados en producir o vender, cada grupo en forma independiente, lo cual no es igual que lo que pueden hacer, pues esto realmente se determina por la interacción entre unos y otros. El modelo de oferta y demanda se completa cuando se establece un acuerdo entre compradores y vendedores.

oferta_demanda_2

Por lo tanto, la operación sólo es efectiva cuando demandantes y fabricantes logran un acuerdo y realizan una transacción económica encontrando el precio que mas satisface las expectativas.

El precio al cual están dispuestos a transaccionar una determinada cantidad de producto, tanto el productor como el comprador se le conoce como precio de mercado o precio de equilibrio.

En una economía de libre empresa, los precios de los productos son determinados en las intersecciones de las curvas de la demanda y de la oferta del mercado del producto.

Cuando el precio es igual al de equilibrio y la cantidad comprada y vendida es igual a la cantidad de equilibrio se dice que existe un equilibrio del mercado. Los desplazamientos de las curvas de la oferta y la demanda están íntimamente relacionados con el movimiento de los precios y con la orientación de las actividades de producción.

applet

La curvas de oferta (qs) y demanda (qdse establecen mediante funciones lineales o cuadráticas con variable precio (p) que dan lugar a tres tipos de modelo de mercado:

  • Modelo lineal (ambas funciones son lineales)
  • Modelo cuadrático (ambas funciones son cuadráticas)
  • Modelo mixto (una función es lineal y la otra cuadrática)

Función lineal e interpolación lineal

funcion_afin

En primer lugar te proponemos un enlace para repasar estos contenidos básicos:

  1. La función lineal (de proporcionalidad directa): recta que pasa por el origen.
  2. La función afín: cualquier recta oblicua.
  3. La función constante: recta horizontal.

Con estos conocimientos previos puedes abordar la INTERPOLACIÓN LINEAL.

Interpolacion_lineal_3La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal.

Sean dos puntos (x1, y1) y  (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y2, para un valor x2 tal que x1<x2<x3.

Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:

Interpolacion_lineal_1Despejando y2 obtenemos que:

Interpolacion_lineal_2

recomendado

pdf_boton_p

applet

video-icon

Programación lineal

region_factible_2La programación lineal (PL) es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales optimizando una función objetivo, también lineal.

El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):

Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo.

barra

ETAPAS DEL MÉTODO DE LOS VÉRTICES APLICADO A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Los pasos a seguir son:

1  Elegir las incógnitas.

2  Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3  Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4  Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6  Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

Función Objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables: f(x,y) = ax + by

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

anx + bny ≤ cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Región factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado,  llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima  se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
barra
CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
 
Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:

  • Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
  • No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)

A su vez los casos factibles pueden ser de:

  • Solución única
  • Solución múltiple
  • Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)
web+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)

pdf_boton_p

applet

teacher_fem

video-icon

Inecuaciones con valor absoluto

inecuacion_lineal

Todas las inecuaciones con valor absoluto se resuelven con la propiedad de acotación :

Si │a│< k  =>  -k < a < k  (casos 1 y 2 en los videos)

Si │a│> k  =>  -k > a > k  (casos 3 y 4 en los videos)

pdf_boton_p+ INFO (DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO)

video-icon

A continuación, para profundizar, te proponemos 4 videos muy aclaratorios.

Leer más de esta entrada

Ecuaciones con valor absoluto

valor_absoluto

El valor absoluto de un número real es un operador matemático que prescinde del signo. Por tanto, el conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|x| = a       ⇔       x = a    o    x = – a

siendo x , a ∈ R  y  a > 0

Ejemplos de resolución de ecuaciones con valor absoluto:

Ejemplo 2)     |2x – 5| = 4

De acuerdo con definición, tenemos dos posibilidades:

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = 4   ⇔   2x = 9   ⇔   x = 9/2

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = – 4   ⇔   2x = 1   ⇔   x = 1/2

Por tanto, el conjunto solución es:  S={1/2, 9/2}

pdf_boton_p+ INFO (ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO)

video-icon

Aproximaciones y redondeos

decimales
Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado.
Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado.
Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.
Por ejemplo, dado el número 1,3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1,34
b) por exceso es 1,35
Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores absolutos que se cometen son:
a) | 1,3456 – 1,34 | = 0,0056
b) | 1,3456 – 1,35 | = 0,0044
Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1,3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1,35.

Matemáticas 1º BAC CCSS para el verano

llego_el_verano

Repasa Matemáticas en Verano

¡Qué bien se está de vacaciones! Es muy bueno desconectar un poco, pero no del todo. Suena a tópico, pero en vacaciones debemos darle un poco de actividad a la mente, mucho más allá de ver la tele, pegarse al móvil o darle a la “play”. Hay tiempo para todo.

CONSEJO NÚMERO 1
¡A leer! Clásicos, best-sellers, … o, por qué no, lectura científica.
La editorial Nivola tiene muy buenos títulos de libros relacionados con Matemáticas. Aquí puedes ver su catálogo.

CONSEJO NÚMERO 2
Si has aprobado todo, por supuesto que mereces un descanso y diversión. Pero también diversión intelectual.
En verano tienes la oportunidad ideal para practicar problemas del Concurso de Primavera de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (con las ediciones anteriores). ¡Empieza ya tu entrenamiento! Tienes todos los problemas en este enlace.

CONSEJO NÚMERO 3
Si has aprobado “por los pelos”, o te notas flojill@ en algún tema de los que estudiaste el curso pasado, no dejes de repasar y hacer ejercicios.

Si estás en la playa, en la montaña o en la piscina no te viene mal descargarte estos resúmenes de Matemáticas para el verano. Si has aprobado el curso te harán fijar ideas y conceptos, si has suspendido te servirán como elementos de preparación del examen de Septiembre.

Empezamos por estos:

pdf_boton_p+ INFO (RESÚMENES DE MATEMÁTICAS PARA EL VERANO Matemáticas 1º BAC CCSS)