Desmos, un gran descubrimiento

Desmos

Después del ábaco, la regla de cálculo y las calculadoras científicas, nace Desmos Graphing Calculator, una nueva generación en calculadoras gráficas.  Sin registros previos, sin descargar nada en tu computadora, totalmente gratuita y desde tu navegador de Internet.

Usos educativos en el aula

A veces Las Matemáticas se vuelven complejas, demasiado abstractas y esto desmotiva a algunos  alumnos, al no entender el significado  de una fórmula, ni la conclusión obtenida en un problema, o incluso ni poder visualizar gráficamente los resultados.
Con Desmos ya no hay excusa. Desmos es un calculadora gráfica web on line que ayudará a ilustrar de manera gráfica las fórmulas que se trabajan en clase ofreciendo una ventaja significativa en el aprendizaje. Tanto para los usuarios de iPhone como iPad existe una app Desmos off line que se puede descargar gratuitamente.

A parte de utilizarlo en clase para representar gráficamente se pueden crear figuras artísticas con las fórmulas.

Hulk

¿Qué ofrece?

Se trata de un programa que ofrece una gran cantidad de posibilidades. Permite construir gráficas a partir de funciones, representar gráficamente tablas de datos, evaluar ecuaciones, o explorar transformaciones, entre otros casos. Está pensada para alumnos y profesores de Secundaria, Bachillerato y Universidad. Utiliza una interfaz muy intuitiva, que se aprende a manejar rápidamente, después de descargar la aplicación en Google Chrome y crear una cuenta en el programa.

Desmos Graphing Calculator, aplicación de matemáticas para Google Chrome

¿Cómo crear una gráfica?

Si nos centramos en crear una nueva gráfica, veremos que tenemos para ello todos los elementos necesarios para elaborar la fórmula. Podemos así mismo crear y modificar tablas, añadiendo valores. Existe también la posibilidad de jugar con variables y controles deslizantes. Es posible guardar y abrir las gráficas creadas, pero para ello es necesario registrarse en el servicio que soporta el programa. Las gráficas guardadas también se pueden compartir, utilizando una URL.

Otras características

Entre los idiomas que soporta Desmos está el castellano. Podemos empezar a utilizar la aplicación tras iniciar sesión la primera vez, o hacerlo después de establecer distintos parámetros en el proceso de configuración. Soporta distintos tipos de gráficas, desde las que se refieren a funciones regulares o desigualdades, hasta funciones en coordenadas polares, entre otras. La mejor forma de averiguar toda la potencia de esta aplicación es trabajando con ella.

Dispone de numerosos ejemplos, que ayudan a asimilar su funcionamiento, así como de un vídeo tutorial y una completa guía para usuarios, o la guía rápida, que podemos descargar en formato PDF. Los gráficos se pueden imprimir directamente o como documento PDF.

Además, permite compartir gráficos vía email e incrustrarlos en blogs. Desmos también puede funcionar como aplicación de Chrome, la cual puede ser instalada desde la Chrome Web Store.

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Si eres un estudiante y estas necesitado de realizar gráficas matemáticas avanzadas, sabrás que existen sitios como http://www.wolframalpha.com, y más recientemente Google que ha puesto a disposición en las búsquedas un graficador de funciones.

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Curvas de oferta y demanda

La oferta y la demanda expresan las cantidades que los individuos dentro del sistema económico están dispuestos a adquirir y a demandar y otros interesados en producir o vender, cada grupo en forma independiente, lo cual no es igual que lo que pueden hacer, pues esto realmente se determina por la interacción entre unos y otros. El modelo de oferta y demanda se completa cuando se establece un acuerdo entre compradores y vendedores.

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Por lo tanto, la operación sólo es efectiva cuando demandantes y fabricantes logran un acuerdo y realizan una transacción económica encontrando el precio que mas satisface las expectativas.

El precio al cual están dispuestos a transaccionar una determinada cantidad de producto, tanto el productor como el comprador se le conoce como precio de mercado o precio de equilibrio.

En una economía de libre empresa, los precios de los productos son determinados en las intersecciones de las curvas de la demanda y de la oferta del mercado del producto.

Cuando el precio es igual al de equilibrio y la cantidad comprada y vendida es igual a la cantidad de equilibrio se dice que existe un equilibrio del mercado. Los desplazamientos de las curvas de la oferta y la demanda están íntimamente relacionados con el movimiento de los precios y con la orientación de las actividades de producción.

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La curvas de oferta (qs) y demanda (qdse establecen mediante funciones lineales o cuadráticas con variable precio (p) que dan lugar a tres tipos de modelo de mercado:

  • Modelo lineal (ambas funciones son lineales)
  • Modelo cuadrático (ambas funciones son cuadráticas)
  • Modelo mixto (una función es lineal y la otra cuadrática)

Función cuadrática

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Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos “todos” los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Para repasar los fundamentos de la función cuadrática te proponemos estos enlaces:

Las parábolas pueden tener traslaciones y dilataciones según modifiquemos la expresión analítica de la función.

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Función lineal e interpolación lineal

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En primer lugar te proponemos un enlace para repasar estos contenidos básicos:

  1. La función lineal (de proporcionalidad directa): recta que pasa por el origen.
  2. La función afín: cualquier recta oblicua.
  3. La función constante: recta horizontal.

Con estos conocimientos previos puedes abordar la INTERPOLACIÓN LINEAL.

Interpolacion_lineal_3La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal.

Sean dos puntos (x1, y1) y  (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y2, para un valor x2 tal que x1<x2<x3.

Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:

Interpolacion_lineal_1Despejando y2 obtenemos que:

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Función inversa

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Dada una función inyectiva f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

Podemos observar que:

  • El dominio de f−1 es el recorrido de f.
  • El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Propiedad: si dos funciones son inversas su composición es la función identidad i(x).

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = i(x)

Para hallar la función inversa seguiremos un método en cuatro pasos:

(Previamente se debe comprobar si f(x) es una función inyectiva o es una función no inyectiva. Si f(x) es inyectiva tendrá función inversa, pero si no es inyectiva puede tener función inversa – con alguna restriccción – o no tenerla).

  1. Escribir la función en notación simple con las variables x e y.
  2. Despejar la variable independiente x.
  3. Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
  4. Se vuelve a la notación normal de función con el formato f-1(x).

funcion_inversa_2La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, 1/f(x).

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante, que es la función identidad y = x .

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+ INFO (FUNCIÓN INVERSA)

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Composición de funciones

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Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

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Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

La composición de funciones tiene sus correspondientes propiedades. Son múltiples los ejemplos que podemos proponer. o los ejemplos resueltos.

+ INFO (COMPOSICIÓN de FUNCIONES)

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Plantilla de DESMOS para representar funciones por tramos

Pulsando sobre este enlace podrás ver una plantilla en DESMOS para representar las funciones por tramos que vienen como ejemplo, o editarlas para representar otras que tu quieras.

Te proponemos el siguiente ejemplo, que es el de la imagen superior.

 

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