Asíntota, una palabra griega

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Torre del puerto de Kobe (Japón)

Asíntota es un término con origen en un vocablo griego hace referencia a algo que no tiene coincidencia. El concepto se utiliza en el ámbito de la geometríapara nombrar a una recta  que, si se prolonga de maner indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o función, aunque sin alcanzar a tocarla.

Esto quiere decir que, mientras la recta y la curva van extendiéndose, la distancia entre ambas tenderá hacia el cero. De acuerdo a sus características, las asíntotas pueden clasificarse en verticales, horizontales u oblicuas.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo.

En este video puedes repasar como se hallan las asíntotas de una función racional con una profesora virtual:

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  • Soluciones de los ejercicios de ASÍNTOTAS aquí
  • Otro video sobre ASÍNTOTAS aquí

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Infinito y tú

¿Qué es infinito?

Infinito … … no es grande … … no es enorme … … no es tremendamente gigante… … no es extremadamente e increíblemente gigantesco… es … ¡Interminable!

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Infinito no tiene final

Infinito es la idea de que algo no termina.

En nuestro mundo no tenemos nada así… así que nos imaginamos que viajamos más y más, intetando llegar allá, pero no es realmente infinito, sólo es un intento de alcanzarlo.

Así que no lo pienses así… sólo estás esforzando el cerebro para nada. Piensa simplemente en “interminable”. Nunca llegarás, así que no lo intentes.

Ejemplos:

 arrowspin
  • La distancia al “final” de un círculo (¡no hay final!)

 Operaciones con ∞

  •  Repasa las 52 operaciones en que puede intervenir el INFINITO

1111…

  • Una sucesión infinita de cifras “1” seguidos por una cifra “2” NUNCA tendrán un “2”.

Así que cuando veas un número como “0.999…” (es decir un decimal con una sucesión infinita de 9s), no termina nunca la lista de 9s. No puedes decir “¿pero qué pasa si el último es un 8?”, simplemente porque no hay último.

Infinito no aumenta

Infinito no “está creciendo”, ya está completamente formado.

A veces la gente (incluído yo) dice “sigue y sigue” y suena como si estuviera creciendo o algo así. Pero infinito no hace nada, sólo es.

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Infinito no es un número real

  • Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.
  • Infinito no se puede medir.
  • Incluso las galaxias lejanas no pueden competir con infinito.

Infinito es sencillo

¡Sí! En realidad es más sencillo que muchas cosas que tienen final. Porque si algo tiene final, tienes que definir dónde está ese final.

Ejemplo: una “línea” tiene longitud infinita, va en las dos direcciones sin final. Si tiene final es un rayo (uno) o un segmento (dos).

Números grandes

Hay números impresionantemente grandes.

Un Gúgol es un 1 seguido de cien ceros (10100) :

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Un gúgol ya es más grande que el número de partículas en el universo conocido, pero existe el Gúgolplex. Es un 1 seguido de un gúgol de ceros. Ni siquiera se puede escribir el número, porque no hay suficiente materia en el universo para escribir los ceros:

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,… etc (un gúgol de ceros)

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Límites de funciones

LA VERDAD ESTÁ EN EL LÍMITE

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El padre de los límites, Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie , D ́Alembert escribe la siguiente definición de límite:
“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable”.
La noción de límite es ya una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma.

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El cálculo de límites no debe ser un problema, te proponemos estas ayudas:

  • Lo imprescindible (HTML) sobre los límites aquí
  • Teoría a fondo de límites + ejemplos (PDF) aquí
  • Presentación (PDF) sobre límites con ejemplos aquí
  • Ejercicios (HTML) de límites resueltos paso a paso aquí
  • Colección de ejercicios (PDF) sobre límites (nivel medio) aquí
  • Colección de ejercicios (PDF) sobre límites y continuidad (nivel medio-alto) aquí
  • Listado (PDF) de límites para practicar aquí
  • Calculadora ON LINE de límites aquí
  • Videos explicativos (YOUTUBE) para resolver límites aquí o para aplicar los límites a casos concretos aquí
  • La verdad está en el límite (DIVULGATIVO), conócelo aquí
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Funciones exponenciales

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En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número real positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

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Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

  • La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:   f (0) = a0 = 1
  • La función exponencial aplicada al valor 1 es siempre igual a la base:   f (1) = a1 = a
  • La función exponencial aplicada a exponente negativo da como resultado el valor inverso:   f (1) = a-n = 1/an

Propiedades gráficas de la función exponencial elemental

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones exponenciales cumplen las propiedades siguientes:

  • Dominio:  RDom(f)=R
  • Imagen:  (0, +infinito)Im(f)=(0,+)0
  • Corte con el eje OY en el punto (0,1)
  • Continuidad: es continua en todo su dominio MR
  • Asíntota horizontal: Eje OX (por la izquierda si a>1, por la derecha si a<1)
  • Monotonía: creciente si a>1 y decreciente si a<1
  • Curvatura: cóncava

La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f(x) = ex. El número irracional e, de valor 2,7182818285…, se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión (1 + 1/n)n cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos .

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

  • Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay.En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
  • Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.   Ejemplo: 22x – 3 × 2x – 4 = 0 t2 – 3t – 4 = 0luego se deshace el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

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Desmos, un gran descubrimiento

Desmos

Después del ábaco, la regla de cálculo y las calculadoras científicas, nace Desmos Graphing Calculator, una nueva generación en calculadoras gráficas.  Sin registros previos, sin descargar nada en tu computadora, totalmente gratuita y desde tu navegador de Internet.

Usos educativos en el aula

A veces Las Matemáticas se vuelven complejas, demasiado abstractas y esto desmotiva a algunos  alumnos, al no entender el significado  de una fórmula, ni la conclusión obtenida en un problema, o incluso ni poder visualizar gráficamente los resultados.
Con Desmos ya no hay excusa. Desmos es un calculadora gráfica web on line que ayudará a ilustrar de manera gráfica las fórmulas que se trabajan en clase ofreciendo una ventaja significativa en el aprendizaje. Tanto para los usuarios de iPhone como iPad existe una app Desmos off line que se puede descargar gratuitamente.

A parte de utilizarlo en clase para representar gráficamente se pueden crear figuras artísticas con las fórmulas.

Hulk

¿Qué ofrece?

Se trata de un programa que ofrece una gran cantidad de posibilidades. Permite construir gráficas a partir de funciones, representar gráficamente tablas de datos, evaluar ecuaciones, o explorar transformaciones, entre otros casos. Está pensada para alumnos y profesores de Secundaria, Bachillerato y Universidad. Utiliza una interfaz muy intuitiva, que se aprende a manejar rápidamente, después de descargar la aplicación en Google Chrome y crear una cuenta en el programa.

Desmos Graphing Calculator, aplicación de matemáticas para Google Chrome

¿Cómo crear una gráfica?

Si nos centramos en crear una nueva gráfica, veremos que tenemos para ello todos los elementos necesarios para elaborar la fórmula. Podemos así mismo crear y modificar tablas, añadiendo valores. Existe también la posibilidad de jugar con variables y controles deslizantes. Es posible guardar y abrir las gráficas creadas, pero para ello es necesario registrarse en el servicio que soporta el programa. Las gráficas guardadas también se pueden compartir, utilizando una URL.

Otras características

Entre los idiomas que soporta Desmos está el castellano. Podemos empezar a utilizar la aplicación tras iniciar sesión la primera vez, o hacerlo después de establecer distintos parámetros en el proceso de configuración. Soporta distintos tipos de gráficas, desde las que se refieren a funciones regulares o desigualdades, hasta funciones en coordenadas polares, entre otras. La mejor forma de averiguar toda la potencia de esta aplicación es trabajando con ella.

Dispone de numerosos ejemplos, que ayudan a asimilar su funcionamiento, así como de un vídeo tutorial y una completa guía para usuarios, o la guía rápida, que podemos descargar en formato PDF. Los gráficos se pueden imprimir directamente o como documento PDF.

Además, permite compartir gráficos vía email e incrustrarlos en blogs. Desmos también puede funcionar como aplicación de Chrome, la cual puede ser instalada desde la Chrome Web Store.

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Si eres un estudiante y estas necesitado de realizar gráficas matemáticas avanzadas, sabrás que existen sitios como http://www.wolframalpha.com, y más recientemente Google que ha puesto a disposición en las búsquedas un graficador de funciones.

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Curvas de oferta y demanda

La oferta y la demanda expresan las cantidades que los individuos dentro del sistema económico están dispuestos a adquirir y a demandar y otros interesados en producir o vender, cada grupo en forma independiente, lo cual no es igual que lo que pueden hacer, pues esto realmente se determina por la interacción entre unos y otros. El modelo de oferta y demanda se completa cuando se establece un acuerdo entre compradores y vendedores.

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Por lo tanto, la operación sólo es efectiva cuando demandantes y fabricantes logran un acuerdo y realizan una transacción económica encontrando el precio que mas satisface las expectativas.

El precio al cual están dispuestos a transaccionar una determinada cantidad de producto, tanto el productor como el comprador se le conoce como precio de mercado o precio de equilibrio.

En una economía de libre empresa, los precios de los productos son determinados en las intersecciones de las curvas de la demanda y de la oferta del mercado del producto.

Cuando el precio es igual al de equilibrio y la cantidad comprada y vendida es igual a la cantidad de equilibrio se dice que existe un equilibrio del mercado. Los desplazamientos de las curvas de la oferta y la demanda están íntimamente relacionados con el movimiento de los precios y con la orientación de las actividades de producción.

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La curvas de oferta (qs) y demanda (qdse establecen mediante funciones lineales o cuadráticas con variable precio (p) que dan lugar a tres tipos de modelo de mercado:

  • Modelo lineal (ambas funciones son lineales)
  • Modelo cuadrático (ambas funciones son cuadráticas)
  • Modelo mixto (una función es lineal y la otra cuadrática)

Función cuadrática

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Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos “todos” los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Para repasar los fundamentos de la función cuadrática te proponemos estos enlaces:

Las parábolas pueden tener traslaciones y dilataciones según modifiquemos la expresión analítica de la función.

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