Repaso de Números Reales

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repaso

Si quieres repasar el tema de Números Reales, te proponemos una serie de ejercicios (muchos de ellos resueltos) y fichas para que puedas preparar tus próximos exámenes.

El repaso es fundamental porque si no lo hacemos, olvidamos prácticamente el 80% de lo estudiado. Ahí está la cuestión: ¡olvidamos muy rápido!.

No depende de la suerte, sino del esfuerzo.

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Operaciones con radicales

radicación

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en buscar un número que multiplicado por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

Los términos de la radicación son: el radicando, el indice radical y la raiz.

  • El radicando es cualquier número dado del que deseamos hayar la raiz.
  • El indice radical indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.
  • La raiz es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.

Las operaciones más habituales con radicales son: introducción y extracción de factores; suma, producto, cociente, potencia y radicación de radicales; y racionalización.

Puedes repasar las operaciones con radicales pulsando en estos dos enlaces:

web

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Aproximaciones y redondeos

decimales
Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado.
Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado.
Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.
Por ejemplo, dado el número 1,3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1,34
b) por exceso es 1,35
Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores absolutos que se cometen son:
a) | 1,3456 – 1,34 | = 0,0056
b) | 1,3456 – 1,35 | = 0,0044
Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1,3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1,35.

Applet para la representación de radicales en la recta real

Aquí tenéis una aplicación (applet) que permite representar raíces cuadradas en la recta real. Podéis elegir la raíz y veréis la representación. Para que se abra tenéis que pinchar en la imagen que aparece a continuación.

Para seleccionar el número debéis mover el deslizador n que aparece en la aplicación.

(Imprescindible tener instalado el plugin de JAVA)

applet_radicales

pdf_boton_p+ INFO (REPRESENTACIÓN DE RADICALES)

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Notación científica

notacion_cientificaCuando el resultado de una operación llega a ser un número muy grande o muy pequeño de manera que anotarlo sería un tanto complicado o no muy formal se utiliza la notación científica, ya que este tipo de notación hace que la expresión del resultado sea pequeña y compacta a diferencia de la notación convencional la cual la expresión de numero puede llegar a ser obscena matemáticamente hablando. También se usa para expresar muchas medidas de magnitudes en Física y en Química.

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del Universo es 4,6×1026 m y la masa de un protón es 1,67×10-27 kg

La notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez. Consta de esta estructura:

a • 10(Siendo el coeficiente “a” un número con una sola cifra entera seguida de decimales y el orden de magnitud “b” un número entero positivo o negativo)

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Regla: Para expresar un número cualquiera en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 102  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612  =  −5,612 • 10−3  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha). Leer más de esta entrada

Inecuaciones con valor absoluto

inecuacion_lineal

Todas las inecuaciones con valor absoluto se resuelven con la propiedad de acotación :

Si │a│< k  =>  -k < a < k  (casos 1 y 2 en los videos)

Si │a│> k  =>  -k > a > k  (casos 3 y 4 en los videos)

pdf_boton_p+ INFO (DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO)

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A continuación, para profundizar, te proponemos 4 videos muy aclaratorios.

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Ecuaciones con valor absoluto

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El valor absoluto de un número real es un operador matemático que prescinde del signo. Por tanto, el conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|x| = a       ⇔       x = a    o    x = – a

siendo x , a ∈ R  y  a > 0

Ejemplos de resolución de ecuaciones con valor absoluto:

Ejemplo 2)     |2x – 5| = 4

De acuerdo con definición, tenemos dos posibilidades:

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = 4   ⇔   2x = 9   ⇔   x = 9/2

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = – 4   ⇔   2x = 1   ⇔   x = 1/2

Por tanto, el conjunto solución es:  S={1/2, 9/2}

pdf_boton_p+ INFO (ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO)

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El número aúreo, la proporción divina

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Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (PHI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucessión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas… y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte.

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (PHI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.

El valor numérico de PHI es de 1,618... . es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periodico.

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Fracción generatriz

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Fracción generatriz de decimales exactos

La fracción generatriz de un número decimal es una fracción cuyo resultado es ese número.

La fracción generatriz de un decimal exacto es muy sencilla: su numerador es el número sin decimales. Su denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal.

Una vez obtenida la fracción generatriz, si es posible la simplificaremos

Fracción generatriz de decimales periódicos puros

Un número es periódico puro si tiene uno o más decimales que se repiten indefinidamente.

¿Cuál es su fracción generatriz? El numerador son las cifras hasta completar un periodo menos la parte entera. El denominador tantos 9 como cifras periódicas haya.

Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos

Un número es periódico mixto si tiene uno o más decimales seguidos de una parte periódica.

Su fracción generatiz es: numerador, las cifras hasta completar un periodo menos las cifras hasta el anteperiodo; denominador, tantos 9 como cifras periódicas y tantos 0 como cifras no periódicas haya.

pdf_boton_p+ INFO (CÁLCULO FRACCIONES GENERATRICES)

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Operaciones con fracciones (un repaso imprescindible)

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Las fracciones y el ser humano han estado ligados desde la antigüedad, pero al no poseer buenos sistemas de numeración recibieron durante mucho tiempo notaciones poco claras e inadecuadas para las aplicaciones prácticas.

Se cree que las fracciones surgieron en el Antiguo Egipto, al tener que repartir panes entre personas pero cuando había más personas que panes. Los egipcios sólo utilizaban fracciones unitarias (cuyo denominador es 1) y una a la que daban un simbolismo especial, la fracción .

 Los babilonios fueron los primeros en utilizar una notación racional expresando los números de forma parecida a la actual.

La expresión de una fracción poniendo el numerador arriba y el denominador abajo se la debemos a los hindúes, pero ellos no ponían entre ambos la raya horizontal que ponemos en la actualidad, esa raya se la debemos a los árabes.

Las fracciones, en su significado más simple, nos indican el número de partes que tomamos de un “todo” al que llamamos unidad. Al número de partes que tomamos lo llamamos numerador (que colocaremos encima de la raya de fracción) y al número de partes iguales en que dividimos la unidad, denominador (el cual se colocará bajo la raya de fracción).

Para escribir una fracción con las letras del abecedario debemos observar su denominador: si el denominador es menor o igual que 10, la fracción se lee diciendo el numerador y luego el ordinal del denominador (tres quintos). Si el denominador es mayor que 10 se lee diciendo el numerador y luego el número del denominador seguido del sufijo avo/s (nueve catorceavos).

Si te cuesta OPERAR Y PENSAR con fracciones EMPIEZA POR AQUÍ.

pdf_boton_p+ INFO (OPERACIONES CON FRACCIONES UN REPASO IMPRESCINDIBLE)

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Video sobre operaciones combinadas con fracciones