Planteamiento y resolución de problemas algebráicos

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La resolución de problemas es una de las tareas más creativas, exigentes e interesantes para la mente humana y es un área que ha atraído el interés de los científicos. La comprensión de un problema parte de la comprensión de su enunciado, que no es sino un texto habitualmente corto, con unas pocas frases. Este texto corto demanda una gran cantidad de inferencias y la activación de conocimiento previo específico.
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Generalmente cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal razón, es muy importante expresar la información dada en palabras en lenguaje algebraico. Veamos a continuación algunos ejemplos (con soluciones) expresados en lenguaje natural que nos pueden ayudar más adelante en el planteamiento y resolución de ecuaciones.
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El número aúreo, la proporción divina

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Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (PHI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucessión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas… y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte.

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (PHI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.

El valor numérico de PHI es de 1,618... . es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periodico.

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Fracción generatriz

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Fracción generatriz de decimales exactos

La fracción generatriz de un número decimal es una fracción cuyo resultado es ese número.

La fracción generatriz de un decimal exacto es muy sencilla: su numerador es el número sin decimales. Su denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal.

Una vez obtenida la fracción generatriz, si es posible la simplificaremos

Fracción generatriz de decimales periódicos puros

Un número es periódico puro si tiene uno o más decimales que se repiten indefinidamente.

¿Cuál es su fracción generatriz? El numerador son las cifras hasta completar un periodo menos la parte entera. El denominador tantos 9 como cifras periódicas haya.

Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos

Un número es periódico mixto si tiene uno o más decimales seguidos de una parte periódica.

Su fracción generatiz es: numerador, las cifras hasta completar un periodo menos las cifras hasta el anteperiodo; denominador, tantos 9 como cifras periódicas y tantos 0 como cifras no periódicas haya.

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Operaciones con fracciones (un repaso imprescindible)

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Las fracciones y el ser humano han estado ligados desde la antigüedad, pero al no poseer buenos sistemas de numeración recibieron durante mucho tiempo notaciones poco claras e inadecuadas para las aplicaciones prácticas.

Se cree que las fracciones surgieron en el Antiguo Egipto, al tener que repartir panes entre personas pero cuando había más personas que panes. Los egipcios sólo utilizaban fracciones unitarias (cuyo denominador es 1) y una a la que daban un simbolismo especial, la fracción .

 Los babilonios fueron los primeros en utilizar una notación racional expresando los números de forma parecida a la actual.

La expresión de una fracción poniendo el numerador arriba y el denominador abajo se la debemos a los hindúes, pero ellos no ponían entre ambos la raya horizontal que ponemos en la actualidad, esa raya se la debemos a los árabes.

Las fracciones, en su significado más simple, nos indican el número de partes que tomamos de un “todo” al que llamamos unidad. Al número de partes que tomamos lo llamamos numerador (que colocaremos encima de la raya de fracción) y al número de partes iguales en que dividimos la unidad, denominador (el cual se colocará bajo la raya de fracción).

Para escribir una fracción con las letras del abecedario debemos observar su denominador: si el denominador es menor o igual que 10, la fracción se lee diciendo el numerador y luego el ordinal del denominador (tres quintos). Si el denominador es mayor que 10 se lee diciendo el numerador y luego el número del denominador seguido del sufijo avo/s (nueve catorceavos).

Si te cuesta OPERAR Y PENSAR con fracciones EMPIEZA POR AQUÍ.

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Video sobre operaciones combinadas con fracciones

Estudio y representación de funciones (con el uso de la derivada)

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En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.

Para estudiar una función:

  • Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
  • Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
  • Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
  • Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma.

Te presentamos ejemplos de un estudio completo de una función.  Los casos más frecuentes y sencillos son los que tratan sobre funciones polinómicas y racionales. No obstante, en los enlaces de abajo puedes analizar otro tipo de funciones: irracionales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc.

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  • Estudio y representación gráfica de todo tipo de funciones

1.   Representación gráfica de funciones

2.   Representación de funciones polinómicas

3.   Representación de funciones racionales

4.   Representación de funciones irracionales

5.   Representación de funciones exponenciales

6.   Representación de funciones logarítmicas

7.   Representación de funciones trigonométricas

  • Ejercicios y problemas

1.   Representación de funciones polinómicas

2.   Representación de funciones racionales I

3.   Representación de funciones racionales II

4.   Representación de funciones irracionales

5.   Representación de funciones exponenciales

6.   Representación de funciones logarítmicas

7.   Representación de funciones trigonométricas I

8.   Representación de funciones trigonométricas II

9.   Representación de funciones con valor absoluto

10.   Representación de funciones a trozos

Aplicaciones de la derivada

aplic_derivadaUtilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.

Se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Te recomendamos este resumen teórico muy claro y bien estructurado para ayudarte a conseguirlo.

OBJETIVOS

  • Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
  • Calcular los extremos relativos de una función.
  • Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.
  • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función.

Si deseas profundizar en más ejercicios de cierto nivel a cerca de las aplicaciones de la derivada te proponemos dirigirte aquí.

Por otra parte, no debemos dejar a un lado los problemas de optimización de funciones que tantos dolores de cabeza pueden darnos en clase.

Estos problemas, basicamente aplicados en el área de la Física, de los materiales, de la Biología, de la economia, etc. Los casos más frecuentes son aplicaciones geométricas: por ejemplo, tratar de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo. Puedes econtrar algunos ejemplos aquí.

Si te gustan los audiovisuales puedes encontrar unos buenos videos sobre aplicaciones de la derivada aquí.

No lo olvides, los métodos matemáticos resultan efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Administración, Ingeniería, Economía, Finanzas y Ecología entre otras.

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Calculadora de derivadas

Supongamos que deseamos derivar la siguiente función (polinomio):

Los pasos a seguir, son:
1. Usar el widget Wolfram Alpha que ves abajo.
2. Elegimos el tipo de derivada que nos interesa calcular (la primera derivada, la segunda derivada, etc).
3. Ingresamos en la caja la función, usando la sintáxis informatica  (por ejemplo x^4-x^2 ), y le damos enter.
4. Wolfram Alpha retornará una ventana de respuesta.