Estudio y representación de funciones (con el uso de la derivada)

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En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.

Para estudiar una función:

  • Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
  • Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
  • Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
  • Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma.

Te presentamos ejemplos de un estudio completo de una función.  Los casos más frecuentes y sencillos son los que tratan sobre funciones polinómicas y racionales. No obstante, en los enlaces de abajo puedes analizar otro tipo de funciones: irracionales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc.

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  • Estudio y representación gráfica de todo tipo de funciones

1.   Representación gráfica de funciones

2.   Representación de funciones polinómicas

3.   Representación de funciones racionales

4.   Representación de funciones irracionales

5.   Representación de funciones exponenciales

6.   Representación de funciones logarítmicas

7.   Representación de funciones trigonométricas

  • Ejercicios y problemas

1.   Representación de funciones polinómicas

2.   Representación de funciones racionales I

3.   Representación de funciones racionales II

4.   Representación de funciones irracionales

5.   Representación de funciones exponenciales

6.   Representación de funciones logarítmicas

7.   Representación de funciones trigonométricas I

8.   Representación de funciones trigonométricas II

9.   Representación de funciones con valor absoluto

10.   Representación de funciones a trozos

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Aplicaciones de la derivada

aplic_derivadaUtilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.

Se trata de obtener información de las funciones a partir de su derivada. Te recomendamos este resumen teórico muy claro y bien estructurado para ayudarte a conseguirlo.

OBJETIVOS

  • Calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento
  • Calcular los extremos relativos de una función.
  • Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de optimización.
  • Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de una función.

Si deseas profundizar en más ejercicios de cierto nivel a cerca de las aplicaciones de la derivada te proponemos dirigirte aquí.

Por otra parte, no debemos dejar a un lado los problemas de optimización de funciones que tantos dolores de cabeza pueden darnos en clase.

Estos problemas, basicamente aplicados en el área de la Física, de los materiales, de la Biología, de la economia, etc. Los casos más frecuentes son aplicaciones geométricas: por ejemplo, tratar de hallar las dimensiones de un terreno u objeto de una determinada forma (cuadrado, rectangular, circunferencia, ..) para que el gasto de material empleado para construir el objeto sea mínimo o para que el área del objeto/terreno.. sea el máximo. Puedes econtrar algunos ejemplos aquí.

Si te gustan los audiovisuales puedes encontrar unos buenos videos sobre aplicaciones de la derivada aquí.

No lo olvides, los métodos matemáticos resultan efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, Administración, Ingeniería, Economía, Finanzas y Ecología entre otras.

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Calculadora de derivadas

Supongamos que deseamos derivar la siguiente función (polinomio):

Los pasos a seguir, son:
1. Usar el widget Wolfram Alpha que ves abajo.
2. Elegimos el tipo de derivada que nos interesa calcular (la primera derivada, la segunda derivada, etc).
3. Ingresamos en la caja la función, usando la sintáxis informatica  (por ejemplo x^4-x^2 ), y le damos enter.
4. Wolfram Alpha retornará una ventana de respuesta.

El reto de la Derivada

NI MÁS NI MENOS QUE… EL LÍMITE DE UN COCIENTE INCREMENTAL

Deriving

¿Quieres dominar una de las operaciones clave de las Matemáticas?, pues ¡¡¡ ADELANTE !!!

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  • Cómo calcular la derivada en un punto (ejercicios de aplicación de la definición) aquí
  • Presentación (PDF) sobre la derivada aquí
  • Interpretaciones geométrica y física de la derivada aquí
  • Reglas de derivación (PDF) con derivadas inmediatas aquí
  • Iniciación (PDF) al cálculo de derivadas sencillas aquí
  • Derivadas propuestas (HTML) (nivel medio) aquí
  • Batería de derivadas (PDF) con sus soluciones aquí
  • Ejemplos de derivadas (PDF) de funciones clasificadas por grupos aquí
  • Colección ejercicios resueltos (PDF) de derivadas y algunas aplicaciones aquí
  • Ejercicios resueltos (PDF) de derivabilidad (nivel medio-alto) aquí
  • Ejercicios resueltos (PDF) de aplicación de la derivada aquí
  • Web especializada en derivadas aquí
  • Videos explicativos (YOUTUBE) sobre la derivada aquí
  • Una derivada curiosa aquí

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Leer más de esta entrada

Asíntota, una palabra griega

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Torre del puerto de Kobe (Japón)

Asíntota es un término con origen en un vocablo griego hace referencia a algo que no tiene coincidencia. El concepto se utiliza en el ámbito de la geometríapara nombrar a una recta  que, si se prolonga de maner indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o función, aunque sin alcanzar a tocarla.

Esto quiere decir que, mientras la recta y la curva van extendiéndose, la distancia entre ambas tenderá hacia el cero. De acuerdo a sus características, las asíntotas pueden clasificarse en verticales, horizontales u oblicuas.

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo.

En este video puedes repasar como se hallan las asíntotas de una función racional con una profesora virtual:

  • Resumen teórico de ASINTOTAS aquí
  • Enunciados de ejercicios de ASÍNTOTAS aquí
  • Soluciones de los ejercicios de ASÍNTOTAS aquí
  • Otro video sobre ASÍNTOTAS aquí

pdf_boton_p+ INFO (EJERCICIOS de ASÍNTOTAS)

Límites de funciones

LA VERDAD ESTÁ EN EL LÍMITE

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El padre de los límites, Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie , D ́Alembert escribe la siguiente definición de límite:
“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable”.
La noción de límite es ya una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma.

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El cálculo de límites no debe ser un problema, te proponemos estas ayudas:

  • Lo imprescindible (HTML) sobre los límites aquí
  • Teoría a fondo de límites + ejemplos (PDF) aquí
  • Presentación (PDF) sobre límites con ejemplos aquí
  • Ejercicios (HTML) de límites resueltos paso a paso aquí
  • Colección de ejercicios (PDF) sobre límites (nivel medio) aquí
  • Colección de ejercicios (PDF) sobre límites y continuidad (nivel medio-alto) aquí
  • Listado (PDF) de límites para practicar aquí
  • Calculadora ON LINE de límites aquí
  • Videos explicativos (YOUTUBE) para resolver límites aquí o para aplicar los límites a casos concretos aquí
  • La verdad está en el límite (DIVULGATIVO), conócelo aquí
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recomendado

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Funciones exponenciales

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En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número real positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

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Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

  • La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:   f (0) = a0 = 1
  • La función exponencial aplicada al valor 1 es siempre igual a la base:   f (1) = a1 = a
  • La función exponencial aplicada a exponente negativo da como resultado el valor inverso:   f (1) = a-n = 1/an

Propiedades gráficas de la función exponencial elemental

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones exponenciales cumplen las propiedades siguientes:

  • Dominio:  RDom(f)=R
  • Imagen:  (0, +infinito)Im(f)=(0,+)0
  • Corte con el eje OY en el punto (0,1)
  • Continuidad: es continua en todo su dominio MR
  • Asíntota horizontal: Eje OX (por la izquierda si a>1, por la derecha si a<1)
  • Monotonía: creciente si a>1 y decreciente si a<1
  • Curvatura: cóncava

La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f(x) = ex. El número irracional e, de valor 2,7182818285…, se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión (1 + 1/n)n cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos .

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

  • Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay.En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
  • Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.   Ejemplo: 22x – 3 × 2x – 4 = 0 t2 – 3t – 4 = 0luego se deshace el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

recomendado

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