Geometría analítica: la recta en el plano

rectasSe conoce como Geometría Analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.

La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.

Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y relaciona la matemática y el álgebra con la geometría.

Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.

En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado. Las rectas y los vectores están relacionados.

Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica:

Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.

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Geometría de la Recta en el plano

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Ecuación de la circunferencia

circunferenciaLa circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda  determinada cuando  conocemos:

  • Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
  • El centro y el radio.
  • El centro y un punto en ella.
  • El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, según la Geometría Analítica, para cualquier punto, P (x, y),  de una circunferencia cuyo centro  es el punto C (a, b) y con radio r, la ecuación ordinaria de la misma será:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

¿Qué significa esto?video-icon

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