Programación lineal

20 diciembre, 2018

region_factible_2La programación lineal (PL) es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales optimizando una función objetivo, también lineal.

El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):

Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo.

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ETAPAS DEL MÉTODO DE LOS VÉRTICES APLICADO A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Los pasos a seguir son:

1  Elegir las incógnitas.

2  Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3  Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4  Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6  Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

Función Objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables: f(x,y) = ax + by

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

anx + bny ≤ cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Región factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado,  llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima  se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
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CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
 
Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:

  • Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
  • No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)

A su vez los casos factibles pueden ser de:

  • Solución única
  • Solución múltiple
  • Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)
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Inecuaciones y sistemas lineales de inecuaciones con dos variables

18 diciembre, 2018

sistemas_dos_variables

RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES

Una inecuación con dos variables puede ser escrita como:   ax + by < c  , o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥ . Donde a, b y c son constantes y las letras «x» e «y» son variables.

Resolver una inecuación en dos variables consiste en encontrar todos los pares de valores solución (x,y) para los cuales se cumple la desigualdad.

Cuando intercambiamos el signo de desigualdad por el signo igual, obtenemos la ecuación ax + by = c, que representa a la recta asociada.

La inecuación anterior, mediante transformaciones de equivalencia, se puede expresar, dependiendo del signo de relación, como , es decir, la verifican todos los puntos que tiene una ordenada(y) menor (o mayor o igual, según el signo de relación) que la ordenada de los puntos de la recta. Por lo tanto, la solución general de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano, del que la recta anterior es su frontera.

Para resolver una inecuación de este tipo seguiremos los siguientes pasos:

  1. Despejar la variable «y» en la desigualdad, discerniendo si se trata de un semiplano superior (caso y >) o inferior (caso y <).
  2. Representar la recta asociada ax + by = c , que dividirá el plano cartesiano en dos mitades.
  3. Sombrear el semiplano solución, (superior o inferior) según lo indicado en el punto 1, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida.

Ejemplo:
Resolver la siguiente inecuación 2·x + 3·y ≥ 6

Al despejar la variable «y» se obtiene:

y ≥ -2/3·x +2 (semiplano superior asociado a la recta  2·x+3·y = 6)

La recta se representa mediante dos puntos cualesquiera, que suelen ser los cortes con los ejes. En este caso los puntos (3,0) y (0,2)

inec_lineal_dos_variables

 

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

MathType 5.0 Equation

Como ya vimos, el conjunto solución de cada inecuación es un semiplano. Intuitivamente colegimos que el conjunto solución del sistema es la intersección de todos los semiplanos de las soluciones particulares. Hay que hacer notar que algunas veces el conjunto solución de un sistema de inecuacIones es el conjunto vacío. Para resolver un sistema de inecuaciones es recomendable utilizar el método gráfico.

Ejemplo:

Sistema_inec_lineal_dos_variables

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Inecuaciones racionales

17 diciembre, 2018

Son aquellas inecuaciones en las que intervienen fracciones algebraicas, es decir, cocientes polinómicos.

Para resolverlas se pasan a un miembro todos los términos para que en el otro miembro quede un cero, obteniéndose así una inecuación equivalente. Luego se estudia en una tabla el signo de la fracción que se ha obtenido, descomponiendo el numerador y denominador en producto de factores y teniendo en cuenta, como condición, que el denominador no se puede anular.

Ejemplo:

inecuacion_racional

La solución del ejemplo de esta imagen sería el intervalo (0,1)

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Inecuaciones polinómicas de grado superior a dos

13 diciembre, 2018

Son inecuaciones que se pueden escribir de la forma:  an xn  + an-1 xn-1 + …….. + a1 x + a0 > 0

Para su resolución, se procede de forma similar al caso de las inecuaciones polinómicas de segundo grado, es decir, se factoriza el polinomio y se estudia su signo.

inecuacion_polinomicaPara resolver una inecuación polinómica , seguiremos los siguientes pasos:

  1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.
  2. Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.
  3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
  4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar algebraica (como intervalo) y gráficamente.

Ejemplo:

inecuacion_Ngrado

Factorizamos la inecuación:

(x -1)(x – 2)(x – 1/2)(x + 2/3) < 0

En la que inter las raíces:

x = 1   ,    x = 2  ,   x = 1/2  ,   x =- 2/3

Estudiamos el signo en los intervalos:

(-∞ , – 2/3)
(-2/3 , 1/2)
(1/2 , 1)
(1 , 2)
(2 , ∞)
(x -1)(x – 2)(x – 1/2)(x + 2/3)
 + – + – +

El conjunto solución es:    (-2/3 ,1/2) ∪ (1 , 2)

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Sistemas de ecuaciones no lineales

29 noviembre, 2018

Sistema_no_linealUn sistema de ecuaciones es no lineal si, por lo menos, una de sus ecuaciones no es lineal (hay un grado mayor o menor que uno en las variables). Estos sistemas se resolverán habitualmente por sustitución o igualación. Es recomendable dibujar las ecuaciones del sistema en la medida de lo posible para hacerse una idea aproximada de la interpretación geométrica de las soluciones, si las hay.

Es importante comprobar que la resolución analítica concuerda con la representación gráfica de las soluciones, ya sea manualmente, ayudándose con calculadora, o mediante ordenador. Esto permitirá a la vez comprender los resultados, lo cual es siempre más efectivo que resolver el sistema sin ninguna idea aproximada de su significado.

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Método de Gauss

26 noviembre, 2018

Metodo_Gauss

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales, es una generalización del método de reducción. Consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente en forma escalonada y de fácil resolución.

Este método conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:

Ax + By + Cz = D
Ey + Fz = G
Hz = I

La resolución del sistema es ahora inmediata; basta calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnita x en la primera ecuación, conocidos ya z e y.

Al resolver un sistema puede suprimirse, sin que varíe su resolución, cualquier ecuación que pueda obtenerse a partir de otras.

  • Te aconsejamos primero consultar un resumen con teoría y ejemplos aquí.
  • Puedes ver un ejemplo resuelto con la aplicación del álgebra de matrices aquí.
  • El método de Gauss distingue entre sistemas compatibles determinados (SCD), sistemas incompatibles SI y sistemas compatibles indeterminados (SCI). Pulsa para ver ejemplos aquí.

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Ecuaciones racionales, puesta a punto

12 noviembre, 2018

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¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como incógnita) para llegar a la solución o soluciones. Hay varias formas de resolver una ecuación racional, dependiendo del tipo de ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación. Y luego de transformados los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden cancelar.

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 («igualar a cero»). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usar la Propiedad fundamental de las proporciones («El producto de los medios es igual al producto de los extremos», o «Igualar los productos cruzados»). Pero si no es una proporción, también se puede buscar denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la propiedad.

¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de una fracción está dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que haga que un denominador dé cero.

¿Qué es el Conjunto Solución?

Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos, ninguna, etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamado Conjunto solución. Por tanto, después de resolver este tipo de ecuaciones, siempre hay que comprobar las posibles soluciones en la ecuación original.

Si quieres saber más y ver ejemplos resueltos pulsa aquí.

+ INFO (ECUACIONES RACIONALES)

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Ecuaciones irracionales, algo muy radical

9 noviembre, 2018

ecuacion_irracional

Una ecuación con radicales, o ecuación irracional, son aquellas en las que aparece la variable bajo el signo de la raíz.

Su proceso de resolución consta de varios pasos que es imprescindible tener muy en cuenta, además requieren comprobación porque pueden aparecer soluciones no válidas.

Resolución de ecuaciones con radicales:

  1. Se aísla un radical en un miembro de la igualdad y se pasan los restantes términos al otro miembro.
  2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
  3. Si existe todavía algún radical, se repite el proceso anterior.
  4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales dada.

+ INFO (ECUACIONES IRRACIONALES)

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Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos

8 noviembre, 2018

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Son ecuaciones formadas por un polinomio de cualquier grado «n».

Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + …+ a0 = 0

Se denomina ecuación cúbica si n = 3 , y ecuación cuártica si n = 4.

Las ecuaciones que tienen una o varias raices enteras se resuelven en estas tres etapas:

  1. factorizando el polinomio (algoritmo de Ruffini)
  2. igualando a cero los factores de 1º y 2º grado resultantes
  3. resolviendo las correspondientes ecuaciones lineales y cuadráticas resultantes

Para ver los detalles básicos del proceso de resolución por factorización pulsa aquí.

Al tratar de factorizar puede ocurrir que nos encontremos que la ecuación no tiene raices enteras. Este caso es más dificil de resolver. Para ello, y a nivel de nuestro curso de 1º BAC, tenemos varias posibilidades para salir del paso:

  • Uso de la calculadora científica, un programa de ordenador (por ejemplo Derive 6) o algunas aplicaciones on-line como este widget  de Wolfram/Alpha o bien la excelente plataforma de cálculo QuickMath.
  • Uso de tablas de valores para acotar las soluciones de manera aproximada.
  • Un método gráfico buscando los cortes con el eje OX de la función polinómica asociada.

Como hemos dicho, los casos de ecuaciones con raices no enteras (racionales o irracionales) son de mucha mayor dificultad de resolución. También, pueden aparecer raices complejas. Pero, esas situaciones se salen del ámbito de 1º BAC. Existen macrofórmulas para resolver ecuaciones cúbicas o ecuaciones cuárticas, así como otros métodos generales de cálculo muy complicados. Sólo si quieres investigar sobre estos métodos y ver su elevado grado de dificultad pulsa aquí=> Método de Cardano  o aquí => Métodos Numéricos.

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Ecuación cuadrática y parábola asociada

7 noviembre, 2018

Parabolas_cortes

Las raíces de una ecuación cuadrática: Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x. Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x , mientras que la coordenada  y = 0. Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de la parábola y la localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos raíces. Esto último está relacionado con el signo del discriminante de la ecuación de 2º grado.

Ecuación_cuadrática

Para recordar las propiedades y forma de representar una parábola pulsa aquí.

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+ INFO (Applets sobre parábolas)

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  • En este applet 1 podrás representar una parábola, una vez que conocidos los coeficientes de la misma. Una vez representada, el applet nos da los puntos de corte con el eje OX, que son las soluciones de la ecuación de 2º grado asociada.
  • Este otro applet 2 pretende detallar gráficamente como se representa un parábola. Si sigues los pasos te aclararás bastante con este tipo de representaciones.

Pincha en las imágenes, y no te olvides de seguir las instrucciones.

  • Estas otros dos webs (en español e inglés) te informan sobre todo lo que has de saber sobre la función cuadrática.

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