Inecuaciones polinómicas de grado superior a dos

Son inecuaciones que se pueden escribir de la forma:  an xn  + an-1 xn-1 + …….. + a1 x + a0 > 0

Para su resolución, se procede de forma similar al caso de las inecuaciones polinómicas de segundo grado, es decir, se factoriza el polinomio y se estudia su signo.

inecuacion_polinomicaPara resolver una inecuación polinómica , seguiremos los siguientes pasos:

  1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.
  2. Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.
  3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
  4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar algebraica (como intervalo) y gráficamente.

Ejemplo:

inecuacion_Ngrado

Factorizamos la inecuación:

(x -1)(x – 2)(x – 1/2)(x + 2/3) < 0

En la que inter las raíces:

x = 1   ,    x = 2  ,   x = 1/2  ,   x =- 2/3

Estudiamos el signo en los intervalos:

(-∞ , – 2/3)
(-2/3 , 1/2)
(1/2 , 1)
(1 , 2)
(2 , ∞)
(x -1)(x – 2)(x – 1/2)(x + 2/3)
+ + +

El conjunto solución es:    (-2/3 ,1/2) ∪ (1 , 2)

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