Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = a^x, se cumplen las siguientes propiedades generales:

• La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:   f (0) = a⁰ = 1
• La función exponencial aplicada al valor 1 es siempre igual a la base:   f (1) = a¹ = a
• La función exponencial aplicada a exponente negativo da como resultado el valor inverso:   f (1) = a^-n = 1/aⁿ

Propiedades gráficas de la función exponencial elemental

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones exponenciales cumplen las propiedades siguientes:

• Dominio:  RDom(f)=R
• Imagen:  (0, +infinito)Im(f)=(0,+∞)0
• Corte con el eje OY en el punto (0,1)
• Continuidad: es continua en todo su dominio MR
• Asíntota horizontal: Eje OX (por la izquierda si a>1, por la derecha si a<1)
• Monotonía: creciente si a>1 y decreciente si a<1
• Curvatura: cóncava

La función e^x

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f(x) = e^x. El número irracional e, de valor 2,7182818285…, se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión (1 + 1/n)ⁿ cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos .

La función e^x presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería a^x = b.

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

• Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: A^x = A^y.En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
• Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.   Ejemplo: 2^2x – 3 × 2^x – 4 = 0 t² – 3t – 4 = 0luego se deshace el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

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