Funciones logarítmicas

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Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales (ej: cálculo de magnitud de terremotos) y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

loga x = b  <=>  ab = x

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

  • La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0, +infinito).
  • Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
  • Es continua.
  • Corta con el eje OX en el punto (1,0), ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
  • Tiene como asíntota vertical el eje OY: hacia abajo si a>1, hacia arriba si a<1.
  • Es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
  • Es convexa si a>1 y cóncava si a<1.
logaritmica_exponencial

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (por consiguiente, son simétricas respecto de la bisectriz)

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento (antilogartimo) o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en las propiedades de los logartimos y en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:

loga f (x) = loga g (x)

Entonces, se emplean los antilogaritmos (o lo que es lo mismo, la función inversa exponencial) para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

loga f (x) = m

de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

  • Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
  • Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
  • Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

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