Función cuadrática

parabola

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos “todos” los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Para repasar los fundamentos de la función cuadrática te proponemos estos enlaces:

Las parábolas pueden tener traslaciones y dilataciones según modifiquemos la expresión analítica de la función.

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Función lineal e interpolación lineal

funcion_afin

En primer lugar te proponemos un enlace para repasar estos contenidos básicos:

  1. La función lineal (de proporcionalidad directa): recta que pasa por el origen.
  2. La función afín: cualquier recta oblicua.
  3. La función constante: recta horizontal.

Con estos conocimientos previos puedes abordar la INTERPOLACIÓN LINEAL.

Interpolacion_lineal_3La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal.

Sean dos puntos (x1, y1) y  (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y2, para un valor x2 tal que x1<x2<x3.

Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:

Interpolacion_lineal_1Despejando y2 obtenemos que:

Interpolacion_lineal_2

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Función inversa

función_inversa

Dada una función inyectiva f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

Podemos observar que:

  • El dominio de f−1 es el recorrido de f.
  • El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Propiedad: si dos funciones son inversas su composición es la función identidad i(x).

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = i(x)

Para hallar la función inversa seguiremos un método en cuatro pasos:

(Previamente se debe comprobar si f(x) es una función inyectiva o es una función no inyectiva. Si f(x) es inyectiva tendrá función inversa, pero si no es inyectiva puede tener función inversa – con alguna restriccción – o no tenerla).

  1. Escribir la función en notación simple con las variables x e y.
  2. Despejar la variable independiente x.
  3. Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
  4. Se vuelve a la notación normal de función con el formato f-1(x).

funcion_inversa_2La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, 1/f(x).

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante, que es la función identidad y = x .

funcion_inversa

+ INFO (FUNCIÓN INVERSA)

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Composición de funciones

composicion_funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

comp_def

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

La composición de funciones tiene sus correspondientes propiedades. Son múltiples los ejemplos que podemos proponer. o los ejemplos resueltos.

+ INFO (COMPOSICIÓN de FUNCIONES)

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Plantilla de DESMOS para representar funciones por tramos

Pulsando sobre este enlace podrás ver una plantilla en DESMOS para representar las funciones por tramos que vienen como ejemplo, o editarlas para representar otras que tu quieras.

Te proponemos el siguiente ejemplo, que es el de la imagen superior.

 

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Funciones por tramos

Funciones-lineales-a-trozos

Las funciones ayudan a describir fenómenos. Las distintas ciencias buscan describir matemáticamente los fenómenos que estudian para poder comprenderlos, controlarlos, reproducirlos, modificarlos. Hay un tipo de funciones que modelizan muy bien muchas de estas situaciones. Son las funciones por tramos o definidas a trozos.

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una “fórmula”. Cada una de las fórmulas se acompaña de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto:

funcion_por_tramos, donde los dominios suelen aparecer como intervalos, inecuaciones o puntos.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas. La trayectoria puede ser continua o contener discontinuidades.

+ INFO (FUNCIONES por TRAMOS)

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Gráficas de funciones on-line con “Fooplot”

Fooplot

Crear gráficas online en la web Fooplot para posteriormente, bajarla al disco duro. De esta manera, la podremos insertar en un documento, blog, web,… e imprimir.

Esos tiempos de estar realizando gráficas de funciones  manualmente han llegado a su fin. FooPlot es una herramienta on-line para poder representar la gráfica de  las funciones que nos interese. Su funcionamiento es bastante simple: solo debes componer la función (usando los símbolos habituales para las operaciones básicas, y recurriendo si es preciso a un extenso número de funciones predefinidas, tales como sin, sqrt, ln, …) y añadirla en la barra de dirección del navegador.
barra
Otra forma de introducir la información es directamente en un campo de texto que ofrece FooPlot. Entre las acciones que te deja realizar encontramos:
  • Se puede ajustar manualmente el rango de representación.
  • Ampliar una parte de la figura que nos interese.
  • Superponer hasta cinco funciones en diferentes colores.
  • Representar funciones de dos variables.
La web de est Graficador es:  http://fooplot.com/
Otras web para “graficar” funciones:

Dominio y recorrido de una función

range-domain

Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia unívoca, es decir que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

Atendiendo a las variables x e y, nos centraremos en este tipo de funciones: función real de variable real.

Es muy importante que repases la clasificación de funciones.

Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Graficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Imagen o Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función “y” variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a “x”. Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

+ INFO (DOMINIO y RECORRIDO DE FUNCIONES)

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Representación gráfica de funciones elementales con Wiris

Grafica_Wiris

La calculadora Wiris, permite dibujar gráficas de funcionas mediante unas intsrucciones muy sencillas.

  • Activar la calculadora Engega la Wiris y escribir:

    Clicar sobre el icono de la flecha y se abrirá un tablero gráfico con la gráfica de la función.
Pasamos a ver más posibilidades del comando dibujar.

  • Modificar lo que teníamos para que diga

    y ya tenemos el gráfico reproducido más arriba.
  • También es posible ordenar dos dibujos a la vez. La sintaxis es ésta:  
  • Cuando se indica que se dibujen varios objetos con el mismo comando (en el caso anterior, dos gráficas de funciones) los atributos de dibujo seran comunes. Si queremos que sean distintos… ¡hay que distinguir!

La estructura general del comando dibujar es la siguiente:

    • La primera lista que se pasa como argumento debe incluir los objetos que queremos dibujar. En caso que sea un objeto único se pueden omitir las { }
    • La segunda lista que se pasa es optativa y detallas las opciones de dibujo para los objetos que aparecen en el comando. Si se quiere dibujar con los atributos por defecto (color negro, por ejemplo) no hay que poner nada; si se indica algún atributo, aunque sea solo uno, hay que indicarlo entre { }

Ahora bien, la Wiris tiene otro comando que permite un estudio analítico muy detallado de las funciones. Se trata de representar.

El comando dibujar realiza una representación de la función punto a punto, sin ningún estudio previo. En cambio el comando representar nos presenta lo que los autores llaman«una representación astuta» (también podríamos decir «una representación como la que se pide a los alumnos en la selectividad»), a saber, una representación que visualice todos los elementos que se recomiendan como esenciales para hacer un esbozo de la gráfica: elección de graduaciones adecuadas para los ejes, puntos singulares (máxims relativos, mínimos relativos y puntos singulares que también son puntos de inflexión), cortes con los ejes, asíntotas, etc.

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Programación lineal

region_factible_2La programación lineal (PL) es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales optimizando una función objetivo, también lineal.

El matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Como origen de la PL, en 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Se trata de dar respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones (beneficios, costes, etc) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones (nº de operarios, maquinaria, kg mercancía, etc) .

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.

Existen tres métodos para resolver un problema de PL con dos variables (x,y):

Nosotros optaremos por explicar el segundo método, pues resulta más intuitivo y sencillo.

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ETAPAS DEL MÉTODO DE LOS VÉRTICES APLICADO A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Los pasos a seguir son:

1  Elegir las incógnitas.

2  Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3  Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4  Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6  Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado)

Función Objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables, en casos sencillos dos variables: f(x,y) = ax + by

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

anx + bny ≤ cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Región factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto limitado o ilimitado,  llamado región factible, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima  se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Pulsa en este enlace para visualizar un ejemplo totalmente comentado que te ayudará a comprender este método.

Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
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CASOS DE EJERCICIOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
 
Los problemas de Programación Lineal con dos variables se pueden clasificar, atendiendo al tipo de solución que presentan, en:

  • Factibles (con solución, por tanto, cuando existen uno más valores que satisfacen las restricciones)
  • No factibles (sin solución, por tanto, cuando las restricciones son inconsistentes)

A su vez los casos factibles pueden ser de:

  • Solución única
  • Solución múltiple
  • Solución no acotada (algunos casos en los que la región factible sea ilimitada)
web+ INFO (MÉTODO DE PROGRAMACIÓN LINEAL)

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