Función inversa

Dada una función inyectiva f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

Podemos observar que:

• El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.
• El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Propiedad: si dos funciones son inversas su composición es la función identidad i(x).

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = i(x)

Para hallar la función inversa seguiremos un método en cuatro pasos:

(Previamente se debe comprobar si f(x) es una función inyectiva o es una función no inyectiva. Si f(x) es inyectiva tendrá función inversa, pero si no es inyectiva puede tener función inversa – con alguna restriccción – o no tenerla).

1. Escribir la función en notación simple con las variables x e y.
2. Despejar la variable independiente x.
3. Intercambiar la x por la y, y la y por la x.
4. Se vuelve a la notación normal de función con el formato f^-1(x).

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, 1/f(x).

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.^er cuadrante y del 3.^er cuadrante, que es la función identidad y = x .

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