Inecuaciones y sistemas lineales de inecuaciones con dos variables

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RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES

Una inecuación con dos variables puede ser escrita como:   ax + by < c  , o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , o ≥ . Donde a, b y c son constantes y las letras “x” e “y” son variables.

Resolver una inecuación en dos variables consiste en encontrar todos los pares de valores solución (x,y) para los cuales se cumple la desigualdad.

Cuando intercambiamos el signo de desigualdad por el signo igual, obtenemos la ecuación ax + by = c, que representa a la recta asociada.

La inecuación anterior, mediante transformaciones de equivalencia, se puede expresar, dependiendo del signo de relación, como , es decir, la verifican todos los puntos que tiene una ordenada(y) menor (o mayor o igual, según el signo de relación) que la ordenada de los puntos de la recta. Por lo tanto, la solución general de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano, del que la recta anterior es su frontera.

Para resolver una inecuación de este tipo seguiremos los siguientes pasos:

  1. Despejar la variable “y” en la desigualdad, discerniendo si se trata de un semiplano superior (caso y >) o inferior (caso y <).
  2. Representar la recta asociada ax + by = c , que dividirá el plano cartesiano en dos mitades.
  3. Sombrear el semiplano solución, (superior o inferior) según lo indicado en el punto 1, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida.

Ejemplo:
Resolver la siguiente inecuación 2·x + 3·y ≥ 6

Al despejar la variable “y” se obtiene:

y ≥ -2/3·x +2 (semiplano superior asociado a la recta  2·x+3·y = 6)

La recta se representa mediante dos puntos cualesquiera, que suelen ser los cortes con los ejes. En este caso los puntos (3,0) y (0,2)

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RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

MathType 5.0 Equation

Como ya vimos, el conjunto solución de cada inecuación es un semiplano. Intuitivamente colegimos que el conjunto solución del sistema es la intersección de todos los semiplanos de las soluciones particulares. Hay que hacer notar que algunas veces el conjunto solución de un sistema de inecuacIones es el conjunto vacío. Para resolver un sistema de inecuaciones es recomendable utilizar el método gráfico.

Ejemplo:

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