Operaciones con radicales

radicación

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en buscar un número que multiplicado por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

Los términos de la radicación son: el radicando, el indice radical y la raiz.

  • El radicando es cualquier número dado del que deseamos hayar la raiz.
  • El indice radical indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.
  • La raiz es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.

Las operaciones más habituales con radicales son: introducción y extracción de factores; suma, producto, cociente, potencia y radicación de radicales; y racionalización.

Puedes repasar las operaciones con radicales pulsando en estos dos enlaces:

web

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Aproximaciones y redondeos

decimales
Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado.
Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado.
Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.
Por ejemplo, dado el número 1,3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1,34
b) por exceso es 1,35
Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores absolutos que se cometen son:
a) | 1,3456 – 1,34 | = 0,0056
b) | 1,3456 – 1,35 | = 0,0044
Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1,3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1,35.

SETUP nueva calculadora Casio FX-991 ClassWiz

Esta calculadora acaba de llegar al mercado y no es muy conocida aún. En este video (en inglés) puedes ver su puesta en marcha.

Applet para la representación de radicales en la recta real

Aquí tenéis una aplicación (applet) que permite representar raíces cuadradas en la recta real. Podéis elegir la raíz y veréis la representación. Para que se abra tenéis que pinchar en la imagen que aparece a continuación.

Para seleccionar el número debéis mover el deslizador n que aparece en la aplicación.

(Imprescindible tener instalado el plugin de JAVA)

applet_radicales

pdf_boton_p+ INFO (REPRESENTACIÓN DE RADICALES)

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Notación científica

notacion_cientificaCuando el resultado de una operación llega a ser un número muy grande o muy pequeño de manera que anotarlo sería un tanto complicado o no muy formal se utiliza la notación científica, ya que este tipo de notación hace que la expresión del resultado sea pequeña y compacta a diferencia de la notación convencional la cual la expresión de numero puede llegar a ser obscena matemáticamente hablando. También se usa para expresar muchas medidas de magnitudes en Física y en Química.

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del Universo es 4,6×1026 m y la masa de un protón es 1,67×10-27 kg

La notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez. Consta de esta estructura:

a • 10(Siendo el coeficiente “a” un número con una sola cifra entera seguida de decimales y el orden de magnitud “b” un número entero positivo o negativo)

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Regla: Para expresar un número cualquiera en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 102  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612  =  −5,612 • 10−3  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha). Leer más de esta entrada

Asistente Matemático en la Web

Está plataforma on-line llamada ASISTENTE MATEMÁTICO EN LA WEB está traducida a varios idiomas, entre ellos el castellano, y permite trabajar todo lo que se ve en esta imagen…

… y de manera muy efectiva.

Pulsando en la imagen accederéis a esa web y se os abrirá todo un mundo de posibilidades  para cálculos matemáticos: dominios, gráficas, resolución de inecuaciones, derivadas, integrales (y definidas, dobles también), estudio de funciones, cálculo de áreas, métodos de aproximaciones (polinomios de Taylor, por iteraciones … ) …

Una de las grandes ventajas de esta web es la información que nos devuelve. Ante una pregunta nos ofrece la solución con los pasos intermedios para llegar a la misma.

Destacamos que a pesar de que, para todo lo que hemos dicho, hay que introducir las funciones en la notación habitual para los ordenadores -en una sola línea y con los paréntesis adecuados-, el programa ofrece la opción de previsualizar la expresión en la notación habitual de matemáticas, por lo que podemos corregir si no hemos introducido la función deseada.

Ya en el propio programa aparece, aunque no traducida, la siguiente advertencia: “¿Intentó el problema por sí mismo en primer lugar? Acceder directamente al ordenador y copiar la respuesta puede tener gran influencia negativa en su educación. La mejor manera de utilizar esta aplicación es resolver el problema y luego comprobar su resultado con la respuesta generada por ordenador.”

 

Inecuaciones con valor absoluto

inecuacion_lineal

Todas las inecuaciones con valor absoluto se resuelven con la propiedad de acotación :

Si │a│< k  =>  -k < a < k  (casos 1 y 2 en los videos)

Si │a│> k  =>  -k > a > k  (casos 3 y 4 en los videos)

pdf_boton_p+ INFO (DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO)

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A continuación, para profundizar, te proponemos 4 videos muy aclaratorios.

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Planteamiento y resolución de problemas algebráicos

problems
La resolución de problemas es una de las tareas más creativas, exigentes e interesantes para la mente humana y es un área que ha atraído el interés de los científicos. La comprensión de un problema parte de la comprensión de su enunciado, que no es sino un texto habitualmente corto, con unas pocas frases. Este texto corto demanda una gran cantidad de inferencias y la activación de conocimiento previo específico.
 box
Generalmente cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal razón, es muy importante expresar la información dada en palabras en lenguaje algebraico. Veamos a continuación algunos ejemplos (con soluciones) expresados en lenguaje natural que nos pueden ayudar más adelante en el planteamiento y resolución de ecuaciones.
web

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Ecuaciones con valor absoluto

valor_absoluto

El valor absoluto de un número real es un operador matemático que prescinde del signo. Por tanto, el conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|x| = a       ⇔       x = a    o    x = – a

siendo x , a ∈ R  y  a > 0

Ejemplos de resolución de ecuaciones con valor absoluto:

Ejemplo 2)     |2x – 5| = 4

De acuerdo con definición, tenemos dos posibilidades:

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = 4   ⇔   2x = 9   ⇔   x = 9/2

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = – 4   ⇔   2x = 1   ⇔   x = 1/2

Por tanto, el conjunto solución es:  S={1/2, 9/2}

pdf_boton_p+ INFO (ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO)

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El número π a lo largo de la historia

Valores obtenidos para PI a lo largo de la historia

Las columnas indican autor del cálculo, año y número de decimales.

Babilonios                  Hacia el 2000 a.C.     1     3.125  = 3 + 1/8
Egipcios                    Hacia el 2000 a.C.     1     3.16049=(16/9)2
Arquímedes                  Hacia el 250 a.C.      3     3.1418 (media) 
Ptolomeo                      150                  3     3.14166  
Liu Hui                       263                  5     3.14159  
Tsu Ch'ung Chi                480                  6     3.1415929(=355/113)
Aryabhata                     499                  4     3.14156  
Al-Khowarizmi                 800                  4     3.1416  
Al-Kashi                     1429                 14     3.14159265358979
Vieta                        1593                  9     3.141592653
Romanus                      1593                 15     3.141592653589793
Van Ceulen                   1596                 20    
Van Ceulen                   1615                 35    

A partir de esta fecha empiezan a utilizarse series.

Sharp                        1699                 71    
Machin                       1706                100    
De Lagny                     1719                127     (112 correctos)  
Vega                         1794                140    
Rutherford                   1824                208     (152 correctos)  
Strassnitzky y Dase          1844                200    
Clausen                      1847                248    
Lehmann                      1853                261    
Rutherford                   1853                440    
Shanks                       1874                707     (527 correctos)

Utilizando calculadora
Ferguson y Wrench            1947                808  
Smith y Wrench               1949              1,120 

Utilizando ordenador
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