Planteamiento y resolución de problemas algebráicos

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La resolución de problemas es una de las tareas más creativas, exigentes e interesantes para la mente humana y es un área que ha atraído el interés de los científicos. La comprensión de un problema parte de la comprensión de su enunciado, que no es sino un texto habitualmente corto, con unas pocas frases. Este texto corto demanda una gran cantidad de inferencias y la activación de conocimiento previo específico.
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Generalmente cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal razón, es muy importante expresar la información dada en palabras en lenguaje algebraico. Veamos a continuación algunos ejemplos (con soluciones) expresados en lenguaje natural que nos pueden ayudar más adelante en el planteamiento y resolución de ecuaciones.
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Ecuaciones con valor absoluto

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El valor absoluto de un número real es un operador matemático que prescinde del signo. Por tanto, el conjunto de soluciones de una ecuación con valor absoluto viene dado por la siguiente relación:

|x| = a       ⇔       x = a    o    x = – a

siendo x , a ∈ R  y  a > 0

Ejemplos de resolución de ecuaciones con valor absoluto:

Ejemplo 2)     |2x – 5| = 4

De acuerdo con definición, tenemos dos posibilidades:

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = 4   ⇔   2x = 9   ⇔   x = 9/2

|2x – 5| = 4   ⇔   2x – 5 = – 4   ⇔   2x = 1   ⇔   x = 1/2

Por tanto, el conjunto solución es:  S={1/2, 9/2}

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El número π a lo largo de la historia

Valores obtenidos para PI a lo largo de la historia

Las columnas indican autor del cálculo, año y número de decimales.

Babilonios                  Hacia el 2000 a.C.     1     3.125  = 3 + 1/8
Egipcios                    Hacia el 2000 a.C.     1     3.16049=(16/9)2
Arquímedes                  Hacia el 250 a.C.      3     3.1418 (media) 
Ptolomeo                      150                  3     3.14166  
Liu Hui                       263                  5     3.14159  
Tsu Ch'ung Chi                480                  6     3.1415929(=355/113)
Aryabhata                     499                  4     3.14156  
Al-Khowarizmi                 800                  4     3.1416  
Al-Kashi                     1429                 14     3.14159265358979
Vieta                        1593                  9     3.141592653
Romanus                      1593                 15     3.141592653589793
Van Ceulen                   1596                 20    
Van Ceulen                   1615                 35    

A partir de esta fecha empiezan a utilizarse series.

Sharp                        1699                 71    
Machin                       1706                100    
De Lagny                     1719                127     (112 correctos)  
Vega                         1794                140    
Rutherford                   1824                208     (152 correctos)  
Strassnitzky y Dase          1844                200    
Clausen                      1847                248    
Lehmann                      1853                261    
Rutherford                   1853                440    
Shanks                       1874                707     (527 correctos)

Utilizando calculadora
Ferguson y Wrench            1947                808  
Smith y Wrench               1949              1,120 

Utilizando ordenador
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El número aúreo, la proporción divina

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Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (PHI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucessión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas… y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte.

Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (PHI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.

El valor numérico de PHI es de 1,618... . es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periodico.

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Cómo estudiar las Matemáticas

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Artículo de Claudio Ibarrola

En este artículo quiero abordar el aprendizaje de las matemáticas y otras ciencias relacionadas que también requieren de ella como física y química (en adelante sólo mencionaré a las matemáticas por razones prácticas), debido a que la manera en que debemos estudiarlas difiere un poco de la que utilizamos para estudiar otras materias. De hecho, hay personas que se les hace muy fácil estudiarla y otras, en cambio, se les dificulta mucho.

Lo primero es decirte que para estudiar matemáticas tienes que comprender muy bien la teoría antes de abordar los problemas relacionados que incluyen el desarrollo de cálculos. Esto hace que existan dos fases claramente definidas en su estudio:

  1. Estudio de la teoría.
  2. Desarrollo de ejercicios prácticos para profundizar en la comprensión.

La teoría te entrega la base para conocer los reales alcances de las herramientas con que cuentas para resolver cualquier problema práctico que se te presente, y el desarrollo de ejercicios te ayudará a entrenar tu mente para enfrentarte a distintos escenarios, con lo cual cada vez adquirirás más confianza en tus conocimientos. Siempre debes comenzar por la teoría para ahorrar tiempo en el aprendizaje, mientras mejor domines la teoría más fácil te resultará la resolución de problemas y el estudio de nuevos contenidos. Esto nos lleva al siguiente punto: la base matemática.

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Fracción generatriz

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Fracción generatriz de decimales exactos

La fracción generatriz de un número decimal es una fracción cuyo resultado es ese número.

La fracción generatriz de un decimal exacto es muy sencilla: su numerador es el número sin decimales. Su denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal.

Una vez obtenida la fracción generatriz, si es posible la simplificaremos

Fracción generatriz de decimales periódicos puros

Un número es periódico puro si tiene uno o más decimales que se repiten indefinidamente.

¿Cuál es su fracción generatriz? El numerador son las cifras hasta completar un periodo menos la parte entera. El denominador tantos 9 como cifras periódicas haya.

Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos

Un número es periódico mixto si tiene uno o más decimales seguidos de una parte periódica.

Su fracción generatiz es: numerador, las cifras hasta completar un periodo menos las cifras hasta el anteperiodo; denominador, tantos 9 como cifras periódicas y tantos 0 como cifras no periódicas haya.

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Manejo calculadora Casio Fx-991 ES Plus

Publicamos en esta entrada una primera entrega de una serie de extraordinarios videos, realizados por Lucas Cocha, sobre la calculadora Casio FX-991 ES plus, una de las mejores calculadoras científicas del mercado. Y todo ello en un tono muy didáctico.

Ver Manual Práctico interactivo en este enlace.

  • Consejos básicos para configurar la calculadora:

  • Cálculos aritméticos básicos:

  • Uso de teclas secundarias:

Flecha_2Si pulsas en el siguiente enlace podrás ver TODOS LOS VIDEOS

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