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Las Matemáticas y Napoleón

28 noviembre, 2014

Teorema de Napoleón

«Si tomamos cualquier triángulo y sobre cada uno de sus lados levantamos un triángulo equilátero, uniendo los centros geométricos de estos tres triángulos equiláteros nos sale un nuevo triángulo que también es equilátero«

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos de la época: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge, para después crear un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado. Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.

Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión. Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos conocido como Teorema de Napoleón.

El teorema de Napoleón. Tres miradas

$\,\bigtriangleup ABC\,$ Sea un triángulo cualquiera. Si se construyen exteriormente los triángulos equiláteros $\,\bigtriangleup ABC'\,$ , $\,\bigtriangleup BCA'\,$ y $\,\bigtriangleup CAB'\,$ , los centros de estos triángulos equiláteros determinan un nuevo triángulo equilátero.

Sean $\,M,N,P\,$ los centros de los triángulos equiláteros.

Triangulo_Napoleon_1

Además, la diferencia de las áreas del triángulo de Napoleón exterior $\,\bigtriangleup MNP\,$ y del triángulo de Napoleón interior $\,\bigtriangleup STU\,$ de un triángulo $\,\bigtriangleup ABC\,$ es igual al área del $\,\bigtriangleup ABC\,$ . Pulsa para ver demostración sobre las áreas.

Triangulo_Napoleon_2

Haz click aquí para ver una explicación intuitiva del Teorema de Napoleón mediante un applet de Geogebra

El teorema de Napoleón: leyenda y verdad

Napoleón Bonaparte se interesó desde pequeño por las Matemáticas. Eran de las pocas partes de sus estudios que le gustaban. A los diez años ingresó en la escuela militar francesa de Brienne-le-Château, y sacó notas destacadas en matemáticas y geografía. Después de graduarse a los catorce años (1784), fue admitido en la Ècole Royale Militaire de París, en la que estudió artillería y se graduó al año siguiente, 1785. Fue comisionado como teniente segundo de artillería y tomó su cargo en 1786 con dieciséis años. Leer más de esta entrada

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Fractales y el caos

17 noviembre, 2014

Fractal_1

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

Los fractales conectan de inmediato con la Teoría del Caos y con los Sistemas Dinámicos y esto nos acerca muy rápido a una comprensión un poco mas armónica e integral de la realidad.

A finales del siglo XIX y comienzos del XX, un grupo de matemáticos, encabezados por Peano, Hilbert, Koch y Sierpinski, entre otros, formularon una nueva familia de curvas con inquietantes propiedades matemáticas que escapaban a todo intento de clasificación hasta el momento.

Conjunto de Julia con un máximo de 500 iteraciones por punto y un número C = 0.28 + 0.008i

Al contrario que la Geometría Euclidea utilizada entonces (basada en rectángulos, círculos, triángulos, elipses, etc.), esta nueva geometría describe sinuosas curvas, espirales y filamentos que se retuercen sobre sí mismos dando elaboradas figuras cuyos detalles se pierden en el infinito.

En 1977, con la ayuda de las grandes computadoras de la empresa IBM y lenguajes de programación, el científico franco-polaco Benoit Mandelbrot pudo obtener la primera imagen de esta nueva geometría, que posteriormente él llamaría Geometría Fractal. En 1980, la publicación de su libro «La Geometría Fractal de la Naturaleza» popularizó la geometría fractal con imágenes como surgimiento de imágenes como los conjuntos de Julia y Mandelbrot y otras que puedes ver en este artículo.

El siguiente vídeo nos muestra lo complejo que es el conjunto de Mandelbrot y toda la belleza que encierra:

Además puedes encontrar una cantidad importante de arte fractal, haciendo clic en estos enlaces:

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Usando «Algebrator 5.0»

27 octubre, 2014

Algebrator_3

Algebrator es uno de los más potentes programas de software de álgebra desarrollado nunca. Puede mostrar cada una de las etapas de resolución de un problema algebraico, de manera eficaz. Es un sistema automatizado que actúa como tutor de estudiantes de álgebra a todos los niveles.

Usa Algebrator para complementar tu aprendizaje en el aula, así como ayudarte a verificar rápidamente cualquier ejercicio de álgebra. Por ejemplo, lo puedes usar para contrastar complicados problemas de operaciones con fracciones algebraicas.

En este link puedes encontrar un manual resumido de como utilizarlo.

Con Algebrator podemos efectuar: simplificación de expresiones algebraicas, operaciones con polinomios, expresiones exponenciales, fracciones y radicales, valores absolutos, factorización, operaciones con números complejos, resolución de ecuaciones e inecuaciones, sistemas, funciones graficas en general, operaciones con funciones, composición, función inversa, geometría básica, álgebra matricial, determinantes, etc. Para más información se puede consultar un manual en inglés y un resumen en castellano un video tutorial. Puedes observar una versión demo aquí.

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Gúgol y Google, historia de un niño y un error

15 octubre, 2014

gugol

Hoy en día el término “Google” se ha convertido en un nombre tan normal y cotidiano como el de nuestra propia mascota, pero al principio sonaba chocante y enrevesado. Así es cómo a sus creadores se les ocurrió ponerle ese nombre…

En 1996, Sergey Brin y Larry Page, que se habían conocido un año antes estudiando en la Universidad de Stanford, crearon un motor de búsqueda (inicialmente llamado BackRub) para ser utilizado en los servidores de dicha universidad y el cual estuvo en activo a lo largo de un año.

Fue en 1997 cuando Brin y Page deciden invertir más tiempo en desarrollar un buscador mucho más potente y que pueda obtener resultados de toda la red. Para encontrar el nombre apropiado para el nuevo motor de búsqueda realizan una sesión de “lluvia de ideas” (Brainstorming) donde surge el término Googol (Gúgol en castellano) que no es más ni menos que un uno seguido de cien ceros, expresado matemáticamente:

1 googol = 10¹⁰⁰= 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Y de Googol solo hubo que dar un paso hacia el popular nombre Google, tal y como lo hemos conocido.

La invención del término googol (gúgol) se le atribuye a Milton Sirotta en 1938, un niño de nueve años de edad y sobrino del matemático Edward Kasner, quien incluyo el concepto por primera vez en su libro Las matemáticas y la imaginación con idea de explicar la diferencia entre un número muy grande y el infinito.

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La curiosa cifra 123

12 octubre, 2014

Cualquier número de tres o más cifras puede ser reducido al 123 con un par de sencillas operaciones.

En el mundo de las matemáticas existen números que poseen unas curiosas propiedades capaces de sorprender a cualquiera. Estas cifras, además, nos permiten pasar divertidos momentos ya que nos confieren capacidades «adivinatorias» con las que sorprender a nuestros amigos.

Uno de esos números es el 123, cuya propiedad matemática más curiosa descubrimos gracias al blog «Gaussianos» y que consiste en que cualquier número de más de tres cifras al que sometamos a un sencillo proceso de reducción, acabará reducido a 123.

El procedimiento es muy simple. Basta con contar cuántas de las cifras que componen el número escogido son pares y cuántas impares. Con estos datos se construye un número formado, en primer lugar, por la cantidad de cifras pares que tenía el inicial, después, por la cantidad de cifras impares y, finalmente, por la cantidad total de cifras que tenía. Con el número obtenido se repite la operación hasta llegar al resultado final de 123.

Así, partiendo del número 863112, que tiene tres cifras pares (el 8, el 6 y el 2) y tres impares (el 3, el 1 y el 1) y está compuesto de seis cifras, se obtiene el número 336. Este último posee un dígito par (6), dos impares (3 y 3) y está formado por tres cifras, lo que nos lleva al número 123.

Esta enigmática propiedad se cumple siempre, ya que cada vez que se reduce la cifra inicial a un número de tres dígitos, sólo existen cuatro supuestos diferentes.

Si las tres cifras son pares, obtendríamos el número 303, que tiene una par y dos impares, con lo que, por tener tres dígitos, llegamos al 123. Si las tres cifras son impares tendríamos el número 033 que volvería a llevarnos nuevamente al 123, ya que el cero se considera cifra par.

Con dos dígitos pares y uno impar, se obtiene el 213 que, al estar formado por una cifra par y dos impares, vuelve a dar el número 123. Finalmente, si el número está compuesto por dos cifras impares y una par el resultado es directamente 123.

Como si se tratara de arte de magia y con independencia del número del que se parta, siempre se llegará al 123. Una forma muy curiosa de asombrar durante un rato a nuestros amigos.

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Chiste matemático

1 octubre, 2014

chiste_matematicas

Como en todos los ámbitos, los chistes específicos de Matemáticas solo hacen gracia a ciertas personas, que suelen estar relacionados de alguna manera con la materia, o bien siendo estudiante, o bien siendo profesor o cualquier otra actividad afín. Preguntar «¿Qué pasa cuando X tiende a infinito?” y responder “Que infinito se seca” sólo tiene gracia cuando estás estudiando o utilizando límites.

Afortunadamente, hay chistes de matemáticas para todos los públicos, incluso podría decirse que más destinados a la gente que no sabe o no le gustan las Matemáticas. Seguramente por ello se atrevieron a colocar éste en la serie “Terminator: Las Crónicas de Sarah Connor”.

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Geometría analítica: la recta en el plano

11 junio, 2014

rectas Se conoce como Geometría Analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.

La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.

Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y relaciona la matemática y el álgebra con la geometría.

Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.

En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado. Las rectas y los vectores están relacionados.

Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica:

Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.

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recomendado

La biblia de la Geometría Analítica en el plano

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Geometría de la Recta en el plano

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Palíndromo

2 junio, 2014

«Symmetry» es un corto especial. Se trata de un film palindrómico. Una palabra, frase o número se dice que es un palíndromo si se lee igual hacia delante que hacia atrás. Cuando se trata de una película es algo más complejo. Si la reproducimos hacia delante se ve igual que hacia atrás. La banda sonora funciona lo mismo. Igualmente se exploran todo tipo de simetrías –música, sonidos, formas, escenarios, colores,…- En verdad todo muy complejo. Minucioso y complicado. Ello es obra del artista francés, diseñador gráfico, Yan Pinell. Ver su página parachutes.tv , donde está el vídeo «Beauty of Maths». En definitiva, unas pequeñas joyas.

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Representación de funciones con Google

30 mayo, 2014

Google love Maths !!!

Analizamos una nueva posibilidad del buscador Google.

En esta ocasión se aplica al área de matemáticas, y lo vamos a utilizar para representar gráficamente una función de una sola variable. Sí, para representar una función bastará escribirla en la caja de texto de búsqueda de Google, y la gráfica interactiva de la misma aparecerá en una caja como primer resultado de la búsqueda. Así de sencillo.

supercalc

Llegados a este punto, parece conveniente recordar cómo se escriben algunas funciónes:

Las potencias se escriben en el símbolo ^: Por ejemplo x^3 representa x³
Las raíces las escribiremos como es habitual sqrt: Por ejemplo sqrt(x) representa
Las funciones trigonométricas se escriben de forma habitual en inglés
También admite logaritmos
Y las constantes, simplemente las deletramos, por ejemplo hemos de escribir pi para el número

En el blog oficial de Google leemos un artículo dedicado a los amantes de las Matemáticas.

En este artículo, el autor nos explica cómo recuerda cuando un amigo le enseñó una calculadora gráfica en el colegio con la que podía representar cualquier función, mientras él seguía haciéndolo con lápiz y papel

Por ello, introduce la funcionalidad gráfica en Google, ahora podemos representar gráficamente cualquier función matemática, simplemente escribiéndola en el buscador. Prueba a escribir estas funciones una a una o en grupo, copiando este texto y pegándolo en el recuadro del buscador (la tercera es la función más divertida):

x^3-3x+2
2cos(x-1)
x/2, (x/2)^2, ln(x), cos(pi*x/5)
(sqrt(cos(x))*cos(200x)+sqrt(abs(x))-0.7)*(4-x*x)^0.01, sqrt(9-x^2), -sqrt(9-x^2) from -4.5 to 4.5

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Potenciación y Radicación de números complejos (forma polar)

28 enero, 2014

radicacion_complejos Ya hemos dedicado un post anterior a los números complejos pero aquí puedes ampliar tus conocimientos sobre las operaciones en forma polar. En especial la potenciación (Fórmula de Moivre) y la radicación.