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Las Matemáticas y Napoleón

28 noviembre, 2014

Teorema de Napoleón

«Si tomamos cualquier triángulo y sobre cada uno de sus lados levantamos un triángulo equilátero, uniendo los centros geométricos de estos tres triángulos equiláteros nos sale un nuevo triángulo que también es equilátero«

No es frecuente encontrar políticos interesados por las ciencias y menos por las matemáticas. Uno de estos casos es Napoleón Bonaparte, quien desde pequeño tuvo interés por esta ciencia y a lo largo de su vida estuvo ligado a numerosos matemáticos de la época: Laplace, Fourier, Lagrange, Mascheroni y Monge, para después crear un sistema educativo donde las ciencias fueran aplicadas en beneficio del Estado. Logró destacar en la academia militar y convertirse en oficial de artillería, en que las matemáticas tienen un papel fundamental en el cálculo de las trayectorias y la colocación de los cañones.

Con Gaspard Monge tuvo una especial relación en la campaña de Egipto y era fácil verlos discutir, junto al químico Claude Berthollet sobre química, matematicas y religión. Existen dos problemas atribuidos al emperador, aunque no está claro si los demostró o simplemente los propuso. Presentamos el más conocido de ellos conocido como Teorema de Napoleón.

El teorema de Napoleón. Tres miradas

$\,\bigtriangleup ABC\,$ Sea un triángulo cualquiera. Si se construyen exteriormente los triángulos equiláteros $\,\bigtriangleup ABC'\,$ , $\,\bigtriangleup BCA'\,$ y $\,\bigtriangleup CAB'\,$ , los centros de estos triángulos equiláteros determinan un nuevo triángulo equilátero.

Sean $\,M,N,P\,$ los centros de los triángulos equiláteros.

Triangulo_Napoleon_1

Además, la diferencia de las áreas del triángulo de Napoleón exterior $\,\bigtriangleup MNP\,$ y del triángulo de Napoleón interior $\,\bigtriangleup STU\,$ de un triángulo $\,\bigtriangleup ABC\,$ es igual al área del $\,\bigtriangleup ABC\,$ . Pulsa para ver demostración sobre las áreas.

Triangulo_Napoleon_2

Haz click aquí para ver una explicación intuitiva del Teorema de Napoleón mediante un applet de Geogebra

El teorema de Napoleón: leyenda y verdad

Napoleón Bonaparte se interesó desde pequeño por las Matemáticas. Eran de las pocas partes de sus estudios que le gustaban. A los diez años ingresó en la escuela militar francesa de Brienne-le-Château, y sacó notas destacadas en matemáticas y geografía. Después de graduarse a los catorce años (1784), fue admitido en la Ècole Royale Militaire de París, en la que estudió artillería y se graduó al año siguiente, 1785. Fue comisionado como teniente segundo de artillería y tomó su cargo en 1786 con dieciséis años. Leer más de esta entrada

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Fractales y el caos

17 noviembre, 2014

Fractal_1

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

Los fractales conectan de inmediato con la Teoría del Caos y con los Sistemas Dinámicos y esto nos acerca muy rápido a una comprensión un poco mas armónica e integral de la realidad.

A finales del siglo XIX y comienzos del XX, un grupo de matemáticos, encabezados por Peano, Hilbert, Koch y Sierpinski, entre otros, formularon una nueva familia de curvas con inquietantes propiedades matemáticas que escapaban a todo intento de clasificación hasta el momento.

Conjunto de Julia con un máximo de 500 iteraciones por punto y un número C = 0.28 + 0.008i

Al contrario que la Geometría Euclidea utilizada entonces (basada en rectángulos, círculos, triángulos, elipses, etc.), esta nueva geometría describe sinuosas curvas, espirales y filamentos que se retuercen sobre sí mismos dando elaboradas figuras cuyos detalles se pierden en el infinito.

En 1977, con la ayuda de las grandes computadoras de la empresa IBM y lenguajes de programación, el científico franco-polaco Benoit Mandelbrot pudo obtener la primera imagen de esta nueva geometría, que posteriormente él llamaría Geometría Fractal. En 1980, la publicación de su libro «La Geometría Fractal de la Naturaleza» popularizó la geometría fractal con imágenes como surgimiento de imágenes como los conjuntos de Julia y Mandelbrot y otras que puedes ver en este artículo.

El siguiente vídeo nos muestra lo complejo que es el conjunto de Mandelbrot y toda la belleza que encierra: